10

Физика колебаний и волн

Лекция 10

2.12. Параметрические колебания.

Параметрический резонанс

Параметрическими называют колебания, при которых один из параметров физической системы периодически изменяется.

Параметрические колебания наблюдаются в самых разнообразных физических системах: например, маятника в виде груза, подвешенного на нити, длину которой периодически изменяют (рис. 2.17).

Такой маятник с неподвижным подвесом совершает колебания с собственной частотой _o²= g/, а сила натяжения нити максимальна в нижних положениях и минимальна в крайних.

Следовательно, если уменьшать длину в нижних и увеличивать в крайних состояниях, то при этом выполняется условие

, (2.58)

где Т_нак и _нак – период и частота накачки; n – целое число (n = 1, 2, 3,...).

Наиболее эффективна накачка при n = 1.

Рис. 2.17

В среднем за период работа внешней силы остается положительной, что способствует увеличению колебаний физической системы.

Выясним физическую сущность параметрических колебаний.

В состоянии 0 (рис. 2.17) совершается положительная работа (уменьшается длина маятника), т. е. увеличивается энергия колебаний, т. к. при этом растет амплитуда колебаний.

При удлинении нити (состояние 1, 1^) отбирается энергия у маятника.

Но сообщаемая энергия больше, чем отбираемая за период.

Почему?

Действительно, в состоянии равновесия сила натяжения нити не только уравновешивает силу тяжести, но и сообщает маятнику ускорение, а в крайних состояниях сила натяжения нити уравновешивает только составляющую силы тяжести.

Следует помнить, что для возбуждения параметрических колебаний принципиально важно, чтобы физическая система до этого уже совершала собственные колебания с частотой ₀.

В колебательных системах с многими степенями свободы возможны нормальные колебания (моды) с частотами ₁ и ₂ (если система состоит из двух связанных маятников, индуктивно связанных контуров и т. д.).

Энергия колебаний, запасенная в какой-либо физической системе, содержит не только состояния с частотами: 2₁ и 2₂, но и, равными сумме и разности частот.

Параметрический резонанс – явление раскачивания колебаний при периодическом изменении параметров тех элементов колебательной системы, в которых сосредоточена энергия параметрических колебаний.

В колебательных системах с распределенными параметрами с большим числом степеней свободы также возможно возбуждение нормальных колебаний в результате параметрического резонанса.

Параметрический резонанс может приводить к раскачиванию изгибных колебаний вращающих валов различных механизмов и машин.

На явлении параметрического резонанса основано всем известное самораскачивание на качелях.

Параметрический резонанс учитывается и в небесной механике при расчете возмущений планетных орбит под влиянием других окружающих тел, при расчете излучения «черных дыр», в ядрах кристаллов и т. д.

3. Ангармонические колебания

3.1. Нелинейный осциллятор

Все физические системы совершают нелинейные колебания.

Нелинейным осциллятором называют систему, которая описывается нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, а вторая производная от переменной по времени входит в уравнение линейным образом.

Примерами таких систем могут служить колебания математического маятника, если его отклонить на большие углы от положения равновесия или пружинного маятника.

Такие колебания совершаются в потенциальных (консервативных) системах без внешнего воздействия и без диссипации энергии.

В указанных условиях нелинейные системы будут совершать ангармонические колебания, т. к. решения таких нелинейных дифференциальных уравнений, кроме гармоник первого порядка содержат гармоники более высокого порядка.

Примерами сложных колебаний являются межатомные, межмолекулярные и другие взаимодействия, которые не являются строго линейными, поэтому возникают не гармонические, а так называемые ангармонические колебания.

Ангармонизм колебаний объясняет тепловое расширение кристаллов. С ангармонизмом связано отличие друг от друга изотермических и адиабатически упругих постоянных твердых тел и др. свойства.

Все нелинейные колебания не являются изохорными.

Принцип суперпозиции для нелинейных колебаний не выполняется.

2. Автоколебательные системы

Системы, способные совершать незатухающие колебания в отсутствие периодического внешнего воздействия, называются автоколебательными системами.

Примерами таких систем являются: часы, двигатели внутреннего

Рис. 3.1

сгорания, ламповые генераторы электромагнитных колебаний и т. д.

В таких системах всегда присутствует источник энергии для восполнения потерь на диссипацию, например, выделение тепла джоуля-ленца при протекании тока в электрической цепи лампового генератора.

Кратко рассмотрим возникновение автоколебаний на примере лампового генератора электромагнитных колебаний (рис. 3.1), где Л – лампа-триод, S– сетка, А – анод, К – катод,L₂– индуктивность,R– сопротивление,C– емкость,L₁– катушка обратной связи,  ЭДС источника тока.

Рис. 3.2

При разряде конденсатора через лампу будет течь анодный токI_a, а потенциал сетки упадет, что приведет к уменьшению анодного тока.

Если витки катушек намотаны параллельно, то за счет взаимной индукции затухание в контуре увеличится.

Возникнет отрицательная обратная связь.

Если же витки катушек намотаны антипараллельно, то затухание в контуре уменьшится, амплитуда колебаний начнет возрастать.

Возникнет положительная обратная связь.

Вид фазовой кривой для такого случая приведен на рис. 3.2.

Если выполняется условие SM/C>R, то состояние равновесия (т. 0) будет неустойчивым фокусом, гдеS– крутизна сеточной характеристики; М – коэффициент взаимной индукции.

Рис. 3.3

Любое малое отклонение системы от равновесия будет возрастать.

Колебательный контур начнет самовозбуждаться.