Конспект лекций по физике 1 части / Лекция 9 Мех 2007

6

Физика колебаний и волн

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лекция 9

13. Несинусоидальные колебания.

Фурье-анализ

При сложении гармонических колебаний с набором различных круговых частот ₁ = , ₂ = 2, ₃ = 3, ... , _k = k

возникают уже не гармонические, но периодические колебания периода Т.

В этом случае любое сложное периодическое колебание (t) можно рассматривать как сумму более простых гармонических колебаний с частотами, кратными основной круговой частоте, и записать в следующем виде:

.

Периодическая функция (t) представляет собой разложение сложного периодического колебания в ряд Фурье (гармонический анализ).

Члены ряда Фурье называются первой (основной) ₁, второй ₂, третьей ₃ и т. д. гармониками общего периодического колебания (t).

Вся совокупность гармоник сложного колебания образует частотный спектр. Отдельные простые гармонические колебания, на которые разложено общее периодическое колебание, называют дискретным спектром частот в отличие от общего непериодического колебания, которое имеет непрерывный (сплошной) спектр частот от 0 до .

Используя метод Фурье можно осуществить оптическую фильтрацию пространственных частот, например, с помощью метода двойной дифракции.

2.10. Вынужденные механические колебания

Все реальные колебания являются затухающими. Чтобы они совершались достаточно долго, необходимо периодически пополнять энергию колеблющейся системы, действуя на нее внешней силой, которая, сама изменяется по гармоническому закону:

F (t) = F cos _вt. (2.49)

Например, на пружинный маятник при колебаниях в вертикальной плоскости в нижней его точке действует периодическая внешняя сила.

Тогда вынужденные колебания физической системы совершаются согласно неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка:

. (2.50)

Из математики известно, что его решением является решение общего однородного уравнения (2.50), обозначим его через x₁(t), и частного решения собственно неоднородного уравнения в виде x₂(t).

Действительно, после приложения внешней силы сначала возникает переходное состояние, при котором физическая система одновременно участвует в двух колебаниях.

Поэтому решением уравнения (2.44) будет выражение из двух слагаемых: x(t) = x₁(t) + x₂(t), где первое слагаемое x₁(t) есть решение затухающего колебания, которое быстро затухает и, следовательно, его можно не учитывать.

Второе слагаемое x₂(t) соответствует решению незатухающих периодических колебаний с частотой, равной круговой частоте вынуждающей силы _в:

x(t)  x₂(t) = Acos(_вt + _о), (2.51)

где А – амплитуда вынужденных колебаний; _о­ – сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой.

Установившиеся вынужденные колебания физической системы являются также гармоническими (рис. 2.11).

Найдем значения амплитуды А и начальной фазы  _0.. Для этого запишем первую и вторую производную частного решения уравнения (2.51) в виде:

(2.52)

(2.53)

Полученные значения смещения х, скорости v_в и ускорения а_в подставим в (2.50).

Тогда получим

Для упрощения решения и быстрого получения результатов используем метод векторных диаграмм, так как последнее равенство показывает, что происходит сложение трех одинаково направленных гармонических колебаний с различными амплитудами, но одинаковой круговой частотой и начальными фазами, соответственно равными:

_­о1 = _о + , _о2 = _о + /2, _­о3 = _о.

Рис. 2.11

Вынужденные колебания происходят с результирующей амплитудой F/m.

Если положить начальный момент t = 0, то на рис. 2.12 можно изобразить векторы амплитуд всех четырех колебаний.

Рис. 2.12

Согласно рис. 2.12, имеем, что

.

Результирующая амплитуда

. (2.54)

Рис. 2.13

Вывод: Амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения между круговой частотой вынуждающей силы и собственной частотой физической системы и от коэффициента затухания.

Из рис. 2.12 найдем начальную фазу результирующего колебания _о:

(2.55)

Вывод: Сдвиг фаз между смещением пружинного маятника и вынуждающей силой зависит сложным образом от коэффициента затухания, частоты вынуждающей силы и собственной частоты физической системы.

2.11. Механический резонанс

В связи с тем, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы, проведем исследование этого вопроса более подробно. Для этого построим графики зависимости амплитуды А и начальной фазы ₀ от круговой частоты вынужденных колебаний _в (рис. 2.13, 2.14):

Анализ графиков показывает: 1. Если _в  , то А 0,

tg₀  0, т. е. ₀  .

Рис. 2.14

2. Если _в  0, то ₀ = 0,

А = F/(m₀²)  статическое смещение, происходящее под действием постоянной силы, т. к. F(t) = Fcost = const. Область резонанса: _в = ₀.

Согласно формуле (2.54) амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной:

. (2.56)

а значение tg₀  , ₀  /2

Механическим резонансом называют явление резкого возрастания амплитуды колебаний, когда круговая частота вынужденных колебаний _в совпадает с собственной круговой частотой ₀ физической системы.

В этом случае подкоренное выражение в (2.54) принимает минимальное значение. Из математики известно, если некоторая функция имеет минимум, то ее производная равна нулю, т. е.

.

Откуда следует, что

. (2.57)

Действительно, если сопротивление отсутствует ( = 0), то _в = _o и наступает резонанс, при котором амплитуда колебаний стремится к бесконечности (кривая 1, рис. 2.13).

Если же   0, что реально всегда имеет место на практике, тогда _в^рез < _o и пик соответствующих кривых при резонансе наступает ранее, чем частота вынужденных колебаний сравняется с собственной частотой колебаний физической системы (рис. 2.13, кривые 2, 3).

Явление резонанса очень широко используется в науке и технике.

Например, для обнаружения весьма слабых колебаний.

Действительно, каждая деталь, механизм, машина или постройка и т. д. имеют собственную частоту колебания.

Если они при работе попадают под действие вынуждающей силы, т. е. последствия при совпадении частот могут быть весьма опасными. (Вспомните знаменитый мост, который был полностью разрушен, когда рота солдат шла по нему строем и в ногу).

Выше мы говорили, что при вынужденных колебаниях физической системы поглощается энергия, пополняемая вынуждающей силой. Среднее за период значение поглощаемой энергии, как показывают расчеты, .

Рис. 2.16

Рис. 2.15

Такая же работа, но со знаком «+», совершается вынуждающей силой.

Вывод: Поскольку амплитуда вынужденных колебаний зависит от вынуждающей частоты и имеет резонансный максимум при _в = _o, то поглощаемая энергия, наоборот, имеет резонансный минимум не пик, а «провал» или «яму» (рис. 2.15).

Следовательно, при изучении зависимости поглощаемой энергии от вынуждаемой частоты можно также обнаружить резонансные явления и соответственно найти спектр собственных частот исследуемых физических систем (ядер, атомов и т. д.).

На рис. 2.16 приведен экспериментальный спектр поглощения синтетического алмаза, полученного на приборе Specord M-82, любезно предоставленный доцентом кафедры физики КГТУ А. Я. Корцем (18 мая 1995 г.). Алмазный порошок получен в лаборатории КГТУ методом направленного взрыва.