После интегрирования выражения (8.54), получим

Постоянную интегрирования С определим из условия, что на стенке трубы скорость течения жидкости должна обращаться в нуль при r = R, т. е.

. (7.55)

Из формулы (7.55) следует, что скорость течения жидкости будет максимальной на оси трубы при r = 0:

При удалении от оси трубы скорость течения изменяется по параболическому закону (рис. 7.13).

Определим ежесекундный расход жидкости при протекании ее через поперечное сечение трубы.

Массу жидкости, протекающую за одну секунду (расход жидкости) через сечение с внутренним r и внешним r + dr радиусами трубы, запишем в виде:

Рис. 7.13

dQ= 2rdrv. (7.56)

Подставим значение скорости v из формулы (7.55) в (7.56).

Тогда полный расход жидкости

После интегрирования получим формулу Пуазейля:

. (7.57)

Вывод: расход жидкости прямо пропорционален разности давлений на входе и выходе трубы, четвертой степени ее радиуса, плотности жидкости; обратно пропорционален коэффициенту вязкости и длине трубы.

7.10. Закон подобия

Пусть поток жидкости обтекает произвольное тело или систему тел. Можно ввести бесконечное множество подобных систем и подобно расположенных тел, обтекаемых потоком другой жидкости.

Найдем условия, при которых оба потока будут механически подобны.

Зная характер течения для одной системы можно предсказать вид течения жидкости для другой. Это позволяет вместо реальных морских судов, самолетов, ракет, космических кораблей и т. д., проводить испытание их уменьшенных моделей.

Если поперечные сечения труб подобны, то они различаются только размерами. Поэтому для каждого сечения можно установить, так называемый характерный размер. Например, для цилиндрических труб эллиптического сечения за характерный размер можно принять длину большой или малой полуосей. Задание характерного размера должно определять и все прочие размеры поперечных сечений.

Рассмотрим поток жидкости, обтекающий какое-либо тело или систему тел, который характеризуется радиус-вектором r и скоростью жидкости v, в подобно расположенных точках. Введем характерный размер L и характерную скорость потока v₀.

Свойства самой жидкости характеризуются плотностью, коэффициентом вязкости и сжимаемостью. Вместо сжимаемости удобнее использовать скорость звука u в жидкости.

При наличии силы тяжести жидкость будем характеризовать ускорением свободного падения g. При нестационарном течении жидкости необходимо ввести характеристическое время , за которое происходит изменение характера течения.

Используя уравнение движения, установим функциональную связь между следующими величинами: r, v, L, v₀, , u, g и  в виде шести независимых безразмерных комбинаций, т. е.

–число Рейнольдса,