1.10. Представление колебаний в комплексной форме

Используя уравнение (1.3) или (1.4), которые описывают изменение ускорения м. т., совершающей гармонические колебания, перепишем его в следующем виде: + _o²x = 0, (1.24)

где ₀ – собственная частота м. т.

Полученное выражение называют однородным дифференциальным уравнением второго порядка классического гармонического осциллятора.

Основным его свойством является линейность.

Это уравнение имеет два решения: первое в виде

x₁ = Acos (t + _o), (1.25)

второе – x₂ = Asin (t + _o). (1.26)

Справедливость сказанного проверяется прямой подстановкой их в выражение (1.24).

Согласно принципу суперпозиции, решением уравнения (1.24) является любая линейная комбинация х₁ и х₂, например, выражение вида

х = b₁Acos(t + ₀) + b₂Asin(t + ₀),

где b₁ и b_2­ – произвольные постоянные (могут быть и комплексные).

Если х₁ и х₂ – решения уравнения (1.24), то b₁x₁ и b₂x_{2 ­} также являются решениями этого уравнения. Положив b₁ = 1, b₂ = – =– i имеем решением уравнения функцию вида  (t),

т. е.

(t) = Acos(t + ₀) – iAsin(t + ₀). (1.27)

Используя формулу Эйлера

, (1.28)

получим уравнение гармонических колебаний в комплексной форме:

(1.29)

Представление колебаний в комплексной форме широко используется в физической теории колебаний и волн, например, при рассмотрении уравнений колебаний переменного тока, так как это позволяет перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим, что значительно облегчает проведение расчетов электрических цепей и т. д.

Это выражение является однородным дифференциальным уравнением второго порядка и описывает гармонические колебания любой физической природы, начиная от простейших механических до сложнейших процессов периодических движений, например, движение электронов вокруг ядер атомов или колебания самих ядерных решеток и т. д.

2. Гармонический осциллятор

1. Движение системы вблизи устойчивого

положения равновесия

Свободными, или собственными, колебаниями называют колебания, которые происходят в системе, выведенной из положения равновесия и в дальнейшем предоставленной самой себе.

В связи с тем, что гармонические колебания характеризуются при движении изменением скорости и ускорения системы, необходимо найти причины этих колебаний, т. е. силы. Например, при колебаниях на тело (м. т.), закрепленное на нити, действуют сила тяжести и сила натяжения нити.

Под действием равнодействующей этих сил и происходит процесс колебания тела (рис. 2.1). Причем при движении маятника от положения II

к положению I и обратно направление силы периодически изменяется от  F_max до + F_min.

Согласно второму закону Ньютона, вектор ускорения м. т., которая совершает гармоническое колебание, .

Согласно уравнению (1.24), дифференциальным уравнением гармонических колебаний является выражение вида

+ _o²x = 0.

Это выражение является однородным дифференциальным уравнением второго порядка и описывает гармонические колебания любой физической природы, начиная от простейших механических до сложнейших процессов периодических движений, например, движение электронов вокруг ядер атомов или колебания самих ядерных решеток и т. д.