1.5. Метод векторных диаграмм

На оси Х выберем начало отсчета (точка 0) и отложим вектор длиной , образующий с осью угол_о. Приведем этот вектор во вращение против часовой стрелки с циклической частотой  (рис. 1.5).

При этом проекция на ось Х конца вектора будет периодически совершать движение вдоль оси Х в пределах от А до +А, т. е. координата этой проекции будет изменяться по гармоническому закону:

х = А cos(t + _o).

Рис. 1.5

Если система одновременно участвует в нескольких колебаниях, то решение задачи значительно упрощается и становится наглядным при использовании метода векторных диаграмм (метод вращающего вектора на плоскости).

Особенно этот метод эффективен при сложении двух и более гармонических колебаний.

Вывод: проекция конца вектора на произвольную ось (например, ось Х) будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, циклической (круговой) частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и начальной фазой, равной углу, образованному данным вектором с осью в начальный момент времени.

1.6. Сложение колебаний одного направления

Рис. 1.6

На практике довольно часто встречаются тела, которые одновременно участвуют в двух колебаниях, происходящих вдоль одного направления. Например, груз закреплен на пружине к потолку движущегося вагона, который сам совершает колебания в вертикальной плоскости (рис. 1.6), или груз, который закреплен на двух последовательно соединенных пружинах с различными коэффициентами жесткости. Допустим, что колебания груза на пружине совершаются по закону

х₁ = А₁cos(t + _o1). (1.5)

Колебания вагона совершаются по закону

х₂ = А₂cos(t + _o2). (1.6)

Представим оба колебания с помощью вращающих векторов иодинаковой круговой частотой (рис. 1.7). Используя правила сложения векторов, построим результирующий вектор

. (1.7)

Проекция результирующего смещения х равна сумме отдельных проекций смещений грузов: х = х₁ + х₂ . (1.8)

Следовательно, действительно х представляет собой результирующее гармоническое колебание амплитуды А, циклической частоты  и начальной фазы _о, т. е.

х = А cos(t + _o). (1.9)

Для того чтобы написать уравнение результирующего гармонического колебания тела, одновременно участвующего в двух одинаково направленных гармонических колебаниях, необходимо знать амплитуду результирующего колебания и его начальную фазу.

Рис. 1.7

В соответствии с рис. 1.7 и теоремой косинусов для результирующей амплитуды, имеем следующее равенство:

А² = A₁² + А₂² + 2А₁А₂cos(_o2  _o1). (1.10)

Используя тригонометрические функции синуса, косинуса и тангенса (см. рис. 1.7), найдем начальную фазу результирующего гармонического колебания в виде:

. (1.11)

Анализ уравнения (1.10) показывает, что величина результирующей амплитуды зависит от разности фаз складываемых колебаний. В связи с этим возможны два случая:

1. Разность фаз равна четному числу 

Рис. 1.8

 = ₀₂  ₀₁ = 0, 2, 4, ... . (1.12)

Действительно, например,  = 0.

Согласно уравнению (2.10) имеем

А² = A₁² + А₂² +2А₁А₂,

так как cos0 = 1.

Следовательно,

А² = (А₁ + А₂)².

Вывод: Результирующая амплитуда равна сумме амплитуд складываемых колебаний (рис. 1.8) А = А₁ + А₂.

2. Разность фаз равна нечетному числу :

 = j₀₂ - j₀₁= ±p, ± 3p, ... . (1.13)

Складываемые колебания находятся в противофазе.

Тогда равенство (1.10) примет вид

А² = А₁² + А₂²  2А₁А₂

поскольку сos(j₀₂ - j₀₁) = сos (+ ) = -1.

Следовательно,

А = (А₁ – А₂)² или .

Рис. 1.9

(Амплитуда всегда положительна).

Вывод: Результирующая амплитуда равна модулю разности амплитуд складываемых колебаний.

Если складываются два колебания равных частот w₁ = w₂ = w и равных амплитуд А₁ = А₂, но противоположных по фазе, то результирующая амплитуда равна нулю (А = 0), т. е. колебания полностью гасят друг друга (рис. 1.9).