2.8. Основные параметры затухающих колебаний

Для описания затухающих колебаний используются: время релаксации, коэффициент затухания, логарифмический коэффициент затухания, добротность системы и т. д.

1. Время релаксации .

Временем релаксации называют промежуток времени, за который амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз (е – основание натуральных логарифмов).

2. Коэффициент затухания .

Коэффициентом затухания называют физическую величину, обратно пропорциональную времени релаксации:  =

или  =. (2.39)

3. Логарифмический декремент затухания .

Логарифмическим декрементом затухания называют натуральный логарифм отношения амплитуды в данный момент времени к амплитуде колебания спустя период.

Действительно,

. (2.40)

Логарифмический декремент затухания прямо пропорционален произведению коэффициента затухания и периоду затухающих колебаний.

4. Добротность системы Q.

Из параграфа 2.7 следует, что круговая частота частицы (шарика на пружине – осциллятора) с учетом сил сопротивления [формула (2.37)] меньше собственной частоты гармонических колебаний осциллятора без учета сил трения.

Следовательно, период затухающих колебаний Т, наоборот, больше периода собственных колебаний Т₀.

Причина ясна. Вязкое трение тормозит движение шарика.

Физическую величину, характеризующую потери энергии при затухающих колебаниях, называют добротностью.

Добротность Q физической системы можно найти по формуле

(2.41)

Как известно, энергия прямо пропорциональна квадрату амплитуды, тогда формулу (2.41) можно представить в следующем виде:

(2.42)

где

А(t) = A₀ е^t.

При малых колебаниях физической системы (малы сопротивление, потери энергии) добротность можно найти при Т Т₀ по формуле:

Q =

или

Q .

Рис. 2.9

Добротность безразмерна.

Таблица 2.1

Источник колебаний	Q
Возбужденное ядро	31012
Лазеры	1012
Колебания электронов в атомах	107
Колебание струны	103
Колебания при землетрясении	25 – –1500

В табл. 2.1 приведены значения добротности различных физических систем, совершающих колебания.

Затухающие колебания можно изучать, используя метод векторных диаграмм.

В этом случае вращение вектора амплитуды происходит по логарифмической спирали (фазовая траектория), асимптотически приближаясь к началу координат при t   (фокус 0, рис. 2.9).

Уравнение логарифмической спирали имеет вид

z = a e ^bt ,

где а и b – комплексные числа.

Если точка К движется по спирали с постоянной угловой скоростью, приближаясь к фокусу, то ее проекции на оси координат Х и У будут совершать затухающие колебания, и система не может совершать периодических движений.