2.4. Математический маятник

Математическим маятником называют материальную точку, закрепленную на невесомой и нерастяжимой нити, совершающую свободные гармонические колебания в вертикальной плоскости.

Математический маятник имеет одну степень свободы – еще один пример одномерного гармонического осциллятора. На математический маятник действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити(рис. 2.4)

Результирующая этих сил (перпендикулярная составляющая силы тяжести) и является той силой, под действием которой маятник совершает свободные гармонические колебания.

При этом угол  = 3 – 5^о (рис. 2.4). Математический маятник при колебаниях описывает часть дуги окружности радиуса R , где– длина нити.

Рис. 2.4

Для вывода дифференциального уравнения колебания математического маятника воспользуемся дифференциальным уравнением колебания физического маятника [см. (2.15)], где момент инерции I физического маятника заменим на момент инерции материальной точки I=mR², где m – масса м. т. математического маятника; R = – расстояние от м. т. до полюса 0.

После подстановки получим дифференциальное уравнение колебания математического маятника в виде

(2.19)

Решением данного уравнения является функция вида

 = ₀сos (₀t + _o). (2.20)

Сравнив уравнения (2.16) и (2.19), найдем собственную круговую частоту ₀ и период Т колебания математического маятника:

. (2.21)

Тогда . (2.22)

Период колебания математического маятника прямо пропорционален квадратному корню длины маятника и обратно пропорционален квадратному корню ускорения силы тяжести.

2.5. Приведенная длина физического маятника

Анализ формул периода колебания физического и математического маятников показывает, что можно найти приведенную длину физического маятника (рис. 2.3), если приравнять их периоды Т_физ = Т_матем, т. е.

.

Тогда приведенная длина физического маятника

(2.23)

Приведенной длиной физического маятника называют длину такого математического маятника, когда периоды их колебаний совпадают.

На рис. 2.3 расстояние между точками 0 и 0^* и есть приведенная длина

физического маятника. Сами точки 0 и 0^* взаимозаменяемы, т. е. при замене точки 0 на 0^* и обратно период колебаний физического маятника сохраняется неизменным.

2.6. Энергия гармонических механических колебаний

При гармонических колебаниях любых физических систем непрерывно и периодически происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.

Например, при колебаниях физического или математического маятников в крайних положениях потенциальная энергия максимальна, а при прохождении положения равновесия максимальна кинетическая энергия.

Найдем математические выражения для кинетической, потенциальной и полной механической энергий физических систем, совершающих гармонические колебания.