5.9. Релятивистская энергия

Сила, действующая на тело (частицу), совершает работу

С другой стороны работа совершается за счет изменения энергии

А = W,

где W – полная энергия.

Следовательно,

Известно, что ,

а релятивистский импульс тогда

С учетом этого энергия .

Так как ,

то энергия

.

После интегрирования

В связи с тем, что

;

имеем

.

Следовательно,

или

(5.17)

Это и есть полная энергия релятивисткой частицы.

Если тело покоится в ИСО, то v = 0,  = 1,

тогда

W₀ = mc² – (5.18)

энергия покоя частицы.

Кинетическая энергия частицы равна разности полной ее энергии и энергии покоя:

W_k = W – W₀ = mc² – mc² (5.19)

или

W_k = mc²( – 1),

т. е.

.

Окончательно

(5.20)

Из формулы (6.20) после преобразований, имеем

или

.

Следовательно, при v << c из последней формулы получаем, что

, (6.21)

т. е. релятивистская формула кинетической энергии переходит в классическую.

5.10. Связь массы, импульса и энергии

релятивистской частицы

Согласно классической физике, кинетическая энергия частицы

,

а ее импульс

p = mv.

Тогда .

В релятивистском случае, согласно СТО, полная энергия частицы

W = mc².

Энергия покоя W₀ = mc².

Поэтому W = W₀,

где

.

После подстановки

.

Левую и правую части равенства (6.22) возведем в квадрат

или

.

Так как W² = W₀²² и Р = mv, то

Следовательно,

или

W²/c²  p² = m²c². (5.22)

Вывод: Из формулы (5.23) следует, что выполняется закон сохранения массы, так как энергия и импульс сохраняются.

Все физические законы механики должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца.

Например, интервал в СТО является инвариантом относительно преобразований Лоренца или инвариант четырехмерного вектора энергии – импульса частицы,

т. е. inv = p²c² – W².

В релятивистской механике импульс и энергия частицы являются компонентами одного векторного поля, т. е. четырехмерного вектора

где

– четырехмерный вектор импульса-энергии.

Символ H– представляет собой энергию системы, выраженную через координаты и импульсы, называют функцией Гамильтона.

Если рассматривается система из nне взаимодействующих частиц является замкнутой, то сумма четырех-векторов энергии-импульса всех частиц системы сохраняется. т. е.

(5.23)

где = 0, 1, 2, 3.

Формула (5.23) выражает закон сохранения четырехмерного вектора энергии-импульса.