1.18. Криволинейное движение. Радиус кривизны

Движение называют криволинейным, если скорость м. т. изменяется и по величине, и по направлению.

Одной из основных характеристик этого движения считается ускорение. В реальной жизни чаще всего встречается криволинейное движение, когда величина скорости – остаётся постоянной, а направление непрерывно изменяется. Например, равномерное движение м. т. по окружности.

Рис. 14

Рассмотрим движение м. т. вдоль произвольной кривой.

Из математики известно, что малую часть дуги любой плавной кривой (траектории) можно заменить дугой окружности некоторого радиуса R₁ или R₂ с центром в точке 0₁ или 0₂ (рис. 14).

Окружность, которая в пределе совпадает с бесконечно малой дугой произвольной кривой, называют кругом кривизны.

Радиус этой окружности называют радиусом кривизны (R₁ и R₂), а центр окружности – центром кривизны (т. 0₁ и т. 0₂, рис. 14). Величину С =1/R называют кривизной данной траектории.

1.19. Центростремительное, тангенциальное

и полное ускорения

Пусть в плоской системе координат (XOY) движется м. т., описывая криволинейную траекторию. В произвольный момент времени t₁ материальная точка при движении со скоростью находилась в пункте А. В следующий момент времениt₂ она находится в пункте В, имея скорость (рис. 15). Если интервал времениt мал, то участок криволинейной траектории представляет собой некоторую дугу  АЕ, которая в пределе совпадает с дугой некоторого круга кривизны радиуса R с центром в точке 0. Скорости иотличаются и по величине, и по направлению,

т. е. иV₁  V₂ .

Рис. 15

Перенесём вектор (можно и вектор) параллельно самому себе так, чтобы совпали начала векторовив точке А.

Соединим концы векторов инаправленным отрезком ВД и обозначим его.

Вектор

является вектором изменения (приращения) скорости (рис. 15) за время t и характеризует изменение скорости, как по величине, так и по направлению. На отрезке АВ (модуль вектора ) отложим отрезок АС, равный по величине модулю вектора.– хорда АЕ, следует, что

,

где = vDt, так как АС =

После преобразования

,

поскольку R = const и = сonst, так как вектор в квадрате есть скаляр. В связи с тем, что изменение скорости произошло за время Dt, разделим левую и правую части на Dt:

.

По определению мгновенного ускорения, имеем: слева – вектор полного ускорения

справа – первое слагаемоe

, (34)

второе слагаемое (35)

Тогда , (36)

Рис. 16

, (37)

т. е. а_n = v²/R, (38)

где – единичный вектор нормали.

Он направлен по радиусу к центру круга кривизны (рис.16), так как с переходом к пределу, когда точки А и Е сливаются, скорость приближается ки уголÐ a  0 (рис.15).

Соответственно углы АСД и АДC равны и стремятся к 90^о.

Следовательно, в пределе вектор (или) направлен по радиусу к центру круга кривизны и называется центростремительным (нормальным) ускорением.

Вектор центростремительного ускорения направлен по радиусу к центру круга кривизны и характеризует изменение скорости по направлению. Рассмотрим вторую составляющую полного ускорения.

Соединим точки С и Д направленным отрезком, который обозначим вектором , характеризующим изменение скорости только понаправлению.

Направленный отрезок ВС назовем вектором , характеризующим изменение скорости по величине, т. е.

.

Согласно рис. 15,

. (33)

Из подобия равнобедренных треугольников ОАЕ и АСД, где модуль

Вектор (39)

называют тангенциальным (касательным) ускорением, где – единичный вектор, направленный по касательной к траектории, т. е.

(),

Вектор касательного ускорения характеризует изменение скорости по величине, направлен по касательной к траектории в данной точке.

При произвольном криволинейном движении материальной точки полное ускорение может быть разложено на две составляющие:

, где .

Вектор полного ускорения характеризует изменение скорости по величине и направлению, направлен внутрь кривизны траектории.

Модуль полного ускорения

. (40)

Возникновение нормального и тангенциального ускорений наблюдается, например, при движении искусственных спутников Земли.