1.4. Радиус-вектор и координаты

Рассмотрим движение материальной точки в произвольно выбранной нами системе отсчета. Это движение описано полностью, если известно её положение в любой момент времени относительно выбранной системы отсчёта. Одним из способов определения положения материальной точки М в пространстве являются, например, её прямоугольные декартовы координаты: x – абсцисса, y – ордината, z – аппликата.

Рис. 3

Положение материальной точки в пространстве в данный момент времени может быть задано: а) радиус-вектором , соединяющим начало системы координат с точкой М пространства, в которой в данный момент находится м. т.; б) координатами точки М: х, у, z (рис. 3). Проекциями радиус-векторана координатные оси являются следующие равенства: r_x = x, r_y = y, r_z = z как соответствующие координаты конца радиус-вектора .

Рис. 1.4

Замечание: Проекция вектора на соответствующие оси координат (Х, У, Z) может быть положительной (рис. 4, а), отрицательной (рис. 4, б) и равной нулю (рис. 4, в). Например, проекцией r_x радиус-вектора на ось координат Х называют скалярную величину, связанную с модулем этого радиус-вектора и углом между направлением оси Х и направлением радиус-вектора , т. е. r_x =  cos

 = r cos  = x.

1.5. Уравнения движения

Основная задача кинематики – написать уравнение движения материальной точки.

Поскольку всякое движение происходит в пространстве и времени, то положение материальной точки в любой момент времени относительно тела отсчёта известно, если заданы её координаты

х = х(t), y = y(t), z = z(t) (1)

или радиус-вектор

. (2)

Уравнения (1) и (2) называют кинематическими уравнениями движения материальной точки. Из анализа уравнений (1) и (2) следует, что закон движения материальной точки описывается тремя скалярными уравнениями или одним векторным. уравнения (1) и (2) характеризуют движение одной и той же материальной точки, то между ними существует связь:

. (3)

Длина радиус-вектора

, (4)

где – единичные векторы (орты) осей координат (рис. 3).

Уравнения движения описывают состояние системы в пространстве и времени.

1.6. Степени свободы

Положение материальной точки или тела в пространстве можно характеризовать координатами x, y, z, т. е. материальная точка может совершать три независимых движения.

Число независимых координат, которые полностью определяют положение тел (м. т.) в пространстве, называют числом степеней свободы.

Следовательно, материальная точка имеет три поступательные степени свободы (i = 3). Если м. т. движется вдоль прямой, то она имеет только одну степень свободы (i = 1).

Рис. 5

Если м. т. осуществляет движение на плоскости, то она обладает двумя степенями свободы (i = 2). Абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы (i = 6): три поступательных и три вращательных. Когда речь идет об атомах или молекулах, одноатомные молекулы (аргон, гелий и т. д.) можно считать м. т., поэтому они имеют три поступательные степени свободы (рис. 5, а). Двухатомные молекулы: водород, азот и т. д. (рис. 5, б) имеют пять степеней свободы: три поступательные и две вращательные. Трех – и многоатомные молекулы имеют шесть степеней свободы (рис. 5, в). Общее число степеней свободы молекулы

i = i_пост + i_вр +2 i_кол. (5)

Если м. т. (тело) совершает колебательное движение, то непрерывно происходит превращение кинетической энергии в потенциальную энергию и, наоборот, потенциальной – в кинетическую, поэтому число колебательных степеней свободы удваивается.