Собственные (резонансные) частоты стоячих волн.

На практике в случае свободных колебаний некоторых физических систем, например струн, столбов газа и др., устанавливаются стоячие волны, частоты которых удовлетворяют определенным условиям, т. е. могут принимать только определенные дискретные значения, называемые собственными частотами данной колебательной системы.

Рис. 4.7

Например, в точках закрепления струн или стержней размещаются узлы смещения (пучности деформаций), а на свободных концах стержней  пучности смещения (узлы деформации). При колебаниях воздушного столба в цилиндрической трубке у закрытого конца трубки размещается пучность давления, а у открытого  узел давления. В качестве примера рассмотрим возникновение стоячих волн при изменении натяжения колеблющейся струны (параметрический резонанс). Частоты стоячих волн называют собственными, или резонансными, т. к. такие колебания сопровождаются резонансными явлениями. В отличие от пружинного, математического или физического маятников, которые при колебаниях имеют одну собственную резонансную частоту (одна степень свободы), натянутая струна имеет много резонансных частот.

Эти частоты в свою очередь кратны низшей частоте.

Более продолжительное время сохраняются те волны, которым соответствуют резонансные частоты. В точках закрепления струны возникают узлы (рис. 4.7). Для нахождения резонансных частот воспользуемся тем, что длина стоячей волны связана с длиной самой струны: = m, где m = 1, 2, 3, ... , и определяет число гармоник.

Например, основной тон (мода)  первая гармоника, соответствует пучности, а длина струны ₁ =, (m = 1; ₁  длина волны первой гармоники). Для второй гармоники  ₂ = ₂ (m = 2; ₂  длина волны второй гармоники), для третьей ₃ = 2 ₃/3 (m = 3; ₃  длина волны третьей гармоники) и т. д. Частоты колебания стоячей волны можно найти по формуле

 = m .

Замечание: Стоячая волна может существовать только при строго определенных частотах колебаний.

Действительно, по условию при отсутствии колебаний на правом конце закрепленной струны, где координата х =, а амплитуда обращается в нуль и разность фаз  = ₀ = , то

А_ст = 2Аcos(kx  )= 2Asinkx.

В точках, где sin(kx) = 0, возникнут узлы и sin(k) = 0.

Следовательно,

k= m. (4.35)

Общий вывод: Полученный результат является необычным для классической физики, потому что k и  могут принимать строго определенные значения:

k = m,

 = m .

Наблюдаемое аномальное явление весьма существенно повлияло на разгадку квантовых явлений.

Согласно выводам квантовой теории следует, что все микрообъекты обладают корпускулярными и волновыми свойствами.

4.12. Акустический эффект Доплера

При неподвижном источнике колебаний, неподвижной среде и неподвижном приемнике частоты излучаемых, распространяемых и принимаемых волн равны.

Иначе дело обстоит, если они приходят в движение, т. е. происходит изменение частоты регистрируемых волн.

Изменение частоты колебания волн вследствие движения источника колебаний и приемника называют эффектом Доплера.

Рассмотрим несколько частных случаев, когда движется источник (приближается удаляется), или приемник (приближаетсяудаляется), или оба вместе (приближаютсяудаляются).

1. Источник неподвижен, приемник приближается со скоростью u₁ по прямой, совпадающей с осью Х (рис. 4.8, u₁ < v).

Длина волны в среде постоянна:  = ₀= v / ₀, где ₀  частота колебаний источника; ₀  длина волны в среде при неподвижном источнике.

Рис. 4.8

Скорость распространения волны относительно приемника

u_отн = u₁ + v,

где v  фазовая скорость волны в среде.

Тогда частота волны, регистрируемая движущимся приемником,

 = (u₁+v)/_о

или

 = _o (1 u₁/v). (4.36)

Знак “  " пишут в формуле (4.36), когда приемник удаляется.

Если приемник приближается к источнику так, что вектор его скорости образует угол₁ с осью Х, тогда частота волны, регистрируемая приемником, определяется формулой

 = ₀ (1  u₁ сos ₁ / v). (4.37)

2. Приемник неподвижен, источник колебаний удаляется со скоростью u₂ вдоль оси Х (рис. 4.9, u₂ < v).

Рис. 4.9

Источник удаляется в среде за время, равное периоду ( t = T₀), на расстояние u₂ T₀ = u₂ / ,

T₀ = 1/ ₀,

где ₀ и T₀  частота и период колебаний источника соответственно.

Поэтому при удалении источника длина волны в среде  отличается от длины волны при неподвижном источнике ₀ (она растет) и определяется выражением

 = ₀ + u₂T₀ = (u₂ + v) / _0, (4.38)

Найдем частоту, которую регистрирует приемник:

, (4.39)

где «  » соответствует приближению источника.

В случае, если источник движется со скоростью u₂ под углом ₂ к оси Х,

(4.40)