4.11. Стоячие волны

Рассмотрим более подробно отражение волн. В частности, отражение волн от среды с большим волновым сопротивлением.

По существу, вторая среда является преградой. Например, воздух и стена здания.Запишем уравнения падающей и отраженной волн в виде

s₁ = А cos (t  kx), s₂ = А cos (t + kx + ₀). (4.28)

В отраженной волне ₂ записана начальная фаза ₀, равная разности фаз рассматриваемых колебаний, которая может принимать 0 или , т. к. при отражении фаза результирующей волны может изменяться.

Падающая и отраженная волны отличаются направлением скорости распространения, поэтому перед волновым числом в уравнении (4.28) взят знак « + ». При отражении от преграды происходит сложение волн (наблюдается явление интерференции) и возникает стоячая волна, уравнение которой имеет вид

S = 2Аcos(kx +)cos(t +), (4.29)

где амплитуда стоячей волны

А_ст=2Аcos(kx +). (4.30)

Из уравнения (4.29) заключаем, что в каждой точке стоячей волны наблюдается колебание такой же частоты и периода, но амплитуда волны зависит от координаты х.

Проведем анализ уравнения (4.30).

1. Условие максимума.

Фаза амплитуды стоячей волны равна целому числу , т. е.

кх + = m, где m = 0, 1, 2, ... или x += m.

Найдем координату максимума (пучности):

(4.31)

Для простоты полагаем значение начальной фазы равной нулю. При таких условиях амплитуда стоячей волны максимальна:

, т. к. cos (m) = 1.

2. Условие минимума

Фаза амплитуды стоячей волны равна нечетному числу /2:

кх + = (2m+1)

или x += (2m+1) .

С учетом того, что ₀ / 2 = 0, для координаты минимума (узел) имеем

;

(4.32)

Свойства стоячих волн:

1. Расстояние между узлом и пучностью равно:

x_пуч  х_узел = /4.

2. Расстояние между соседними узлами или пучностями  / 2, т. е. длина стоячей волны  _ст =  / 2. Читателю предлагается самостоятельно проверить результаты выводов по пп. 1 и 2.

3. В бегущей волне фаза колебаний зависит от координаты х, рассматриваемой колеблющейся частицы среды.

В стоячей же волне все частицы среды между двумя узлами совершают колебания с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами (сифазны), потому что аргумент cos(t + ₀ / 2) в уравнении стоячей волны (4.29) не зависит от координаты х.

При переходе через узел фаза колебаний ( = t + ₀ / 2) изменяется скачком на , т. к. в амплитуде стоячей волны сомножитель cos(kx +₀ / 2) изменяет свой знак на противоположный.

3. Если волна отражается от среды с большим волновым сопротивлением (неверно говорить «при отражении от более плотной среды», как это пишут иногда) фаза изменяется на противоположную. При этом происходит потеря половины длины волны, потому что на расстоянии, равном половине длины волны, фаза изменяется на  . Поэтому после подстановки в уравнение стоячей волны (4.29), например, значения разности фаз  ₀ =  , будем иметь

s = 2Аsin (kx) sin(t).

Поскольку механические волны являются следствием возникновения деформаций в среде, вызванных источником упругих волн, то относительная деформация среды изменяется по закону

 ==2Aksin(kx +)сos(t +), (4.33)

где s  смещение волны;   относительная деформация среды.

При этом скорость колебания частиц среды в стоячей волне

v = = 2Acos(kx+)sin(t+). (4.34)

Следовательно, в стоячей волне  опережает скорость по фазе на /2.

Поэтому, когда скорость достигает максимума, относительная деформация  обращается в нуль и наоборот, когда скорость обращается в нуль, относительная деформация  достигает максимума.

Причем амплитуда скорости

v_a =2Acos(kx + ₀/2)

и амплитуда относительной деформации смещения

_a=2Aksin(kx + ₀/2)

зависят от координаты х по-разному, т. е. в пучностях стоячей волны размещаются пучности скорости и узлы деформаций среды, а в узлах стоячей волны  узлы скорости и пучности деформаций.

В упругой стоячей волне энергия периодически переходит из потенциальной, которая локализована вблизи пучностей деформации, в кинетическую энергию, локализованную вблизи пучностей скорости и наоборот.

Таким образом, энергия периодически перемещается от пучностей к узлам и наоборот от узлов к пучностям.

Но в самих узлах и пучностях плотность потока энергии равна нулю.

Поэтому среднее за период значение плотности потока энергии равно нулю в любой точке стоячей волны, т. к. две бегущие навстречу друг другу волны образуют стоячую волну и переносят за период равную энергию в противоположных направлениях.