4.7. Групповая скорость

В линейной среде волны распространяются независимо друг от друга. Поэтому, если в данной среде одновременно распространяются N синусоидальных волн, можно применить принцип суперпозиции и найти результирующее смещение частиц среды в произвольный момент времени.

Используя Фурье-анализ и принцип cуперпозиции волн, можно любую несинусоидальную волну разложить на систему простейших синусоидальных волн, т. е. в виде волнового пакета или группы волн. В главе «Гармонический осциллятор» отмечалось, что совокупность частот простейших гармонических колебаний образует спектр частот (сплошной или дискретный), если среда не обладает дисперсией.

Дисперсией волн называют зависимость фазовой скорости в среде от частоты распространяющихся волн.

Дисперсия всегда связана с поглощением энергии средой.

Если среда обладает дисперсией, то составляющие группы волн в среде распространяются с различными скоростями и поэтому результирующая волна изменяется.

Рассмотрим группу из двух волн, которые характеризуются тем, что имеют равные амплитуды, но различаются частотами ₁, ₂ = ₁+d

(d << ₁) и волновыми числами k₁, k₂ = k₁ + dk (dk<<k₁). Волны распространяются вдоль одного направления (ось х). В результате сложения, имеем

После преобразований (при сложении мы учли, что d << , dk << k и значениями d и dk можно пренебречь по сравнению величинами  и k) получим, что

(4.13)

Амплитуда результирующей волны (квазисинусоидальной) имеет следующий вид:

. (4.14)

Рис. 4. 4

Она зависит от координаты х, времени t и является медленно изменяющейся функцией (рис. 4.4).

Если скорость u_г перемещения точки M (рис. 4.4), в которой амплитуда А имеет фиксированное значение, например, А_рез= 2А, то закон движения точки M запишется в виде

t d  x dk = сonst.

После взятия производной по времени, имеем d  dk = 0

или u_г ==. (4.15)

Скорость u_г называют групповой.

Для сред, в которых наблюдается дисперсия волн, используют понятие групповой скорости, характеризующей быстроту переноса энергии волн.

4.8. Связь фазовой и групповой скоростей

Известно, что волновое число

или  = kv_ф.

Найдем производную по k:

. (4.16)

С другой стороны, волновое число можно выразить через длины волны k =.

От этого равенства возьмем производную по :

или

dk =( ) d. (4.17)

Выражения (4.16) и (4.17) подставим в (4.15).

Учитывая, что k =, получим связь фазовой и групповой скоростей:

u_г = v_ф   (). (4.18)

Если в среде не наблюдается дисперсия волн, то

= 0,

тогда фазовая и групповая скорости совпадают, т. е. u_г = v_ф.

Рис. 4.5

Зная зависимость скорости распространения от длины волны в среде v=f() и построив график, можно найти величину групповой скорости.

Действительно, проведя касательную к кривой в т. А (рис. 4.5) с координатами v_i и _i, можно найти отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равный значению групповой скорости u_i (метод Эренфеста).