9.2. Параллельное соединение конденсаторов

Рис. 13

При параллельном соединении все конденсаторы имеют постоянную разность потенциалов

₁  ₂ = сonst. Полный заряд батареи конденсаторов (рис. 1.31): q = q₁ + q₂ +...+ q_n

По определению емкость батареи конденсаторов ,

где .

Следовательно,

С = С₁ + С₂ + ... + С_n. (18)

10. Энергия электрического поля

10.1. Энергия взаимодействия электрических зарядов

Известно, что dW₁₂ =  A₁₂. Для системы из трех зарядов

dW =  d(W₁₂ + W₁₃ + W₂₃)=  A,

т. е.

W = W₁₂ + W₁₃ + W₂₃ . (19)

Это положение остается справедливым и для произвольной системы точечных зарядов. Для нахождения энергии взаимодействия системы N точечных зарядов формулу (19) представим в виде

, где W_ij = W_ji.

Следовательно, ,

где W_i  энергия взаимодействия i-го заряда с остальными зарядами.

Известно, что W_i = q_i _i, где q_i  i-й заряд системы; _i  результирующий потенциал, создаваемый всеми остальными зарядами системы вместе нахождения заряда q_i. Таким образом,

. (20)

10.2. Полная энергия системы зарядов

Если заряды распределены по объему с объемной плотностью заряда , то систему зарядов можно представить как совокупность элементарных зарядов dq = dV, т. е. dW =  dq =  dV.

С учетом этого формула (20) после интегрирования принимает вид

, (21)

где   потенциал, созданный всеми зарядами в элементарном объеме dV.

Если заряды распределены с поверхностной плотностью заряда , то

. (22)

Формулы (21) и (22) позволяют найти полную энергию системы, а формула (20)  только собственную энергию заряда. Действительно, согласно (21), W = W₁ + W₂ + W₁₂, где W₁ , W₂  собственные энергии заряда q₁ и q₂ ; W₁₂  энергия взаимодействия этих зарядов.

10.3. Энергия системы заряженных проводников

Используя формулу (21) найдем энергию изолированного (уединенного) проводника. Если проводник имеет заряд q и потенциал  = сonst во всех точках, где распределен заряд, то

. (23)

Так как для плоского конденсатора (два заряженных проводника)

q = C ,

то

, (24)

где +q=q= q;   разность потенциалов между положительно и отрицательно заряженными обкладками конденсатора; W  полная энергия взаимодействия не только зарядов одной обкладки с зарядами другой, но и энергия взаимодействия зарядов внутри каждой из обкладок.

Формула (24) остается справедливой и при наличии диэлектрика между обкладками конденсатора.

Если использовать емкостные коэффициенты, то

. (25)