2.8. Граничные условия для поля вектора

Рис. 5

Найдем связь между поляризованностью Р и поверхностной плотностью ^* связанных зарядов на границе раздела двух изотропных диэлектриков.

У таких диэлектриков нет объемного избыточного связанного заряда, а имеется только поверхностный связанный заряд.

Для того чтобы использовать свойство поля вектора в качестве замкнутой поверхности, возьмем малый цилиндр, основания которого находятся по разные стороны границы раздела диэлектриков (рис. 5).

Найдем поток вектора сквозь цилиндрическую поверхность с учетом того, что этот поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю.

В этом случае будем учитывать только поток сквозь основания цилиндра, т. е.

(P_1n^*+ Р_2n)S = ^*S,

где P_1n^* и Р_2n  проекции вектора в диэлектрике 1 на нормаль^* и в диэлектрике 2 на нормаль .

Вследствие того, что P_1n^* =  P_1n, предыдущее равенство перепишем после сокращения на S в виде

Р_2n  P_1n =  ^*. (20)

Вывод: На границе раздела двух изотропных диэлектриков нормальная составляющая вектора испытывает разрыв.

Если второй средой является вакуум,

то Р_2n= 0, тогда формула (20) принимает более простой вид:

Р_n = ^*, (21)

где Р_n  проекция вектора на нормаль к поверхности диэлектрика.

Знак проекции Р_n определяет знак поверхностного связанного заряда ^*_.

Замечание: Поле вектора так же, как и поле вектора , зависит как от связанных, так и сторонних зарядов.

Связанные заряды определяют не поле вектора , а поток этого вектора, и только те, которые охватывает замкнутая поверхностьS.