2.5. Поляризованность

Для количественного описания поляризации диэлектрика вводят вектор поляризации (поляризованность).

Если внешнее электрическое поле или диэлектрик неоднородны, то степень поляризации оказывается разной в различных точках диэлектрика. Чтобы характеризовать поляризацию в данной точке, необходимо выделить бесконечно малый объем V, содержащий эту точку, затем найти векторную сумму дипольных моментов молекул в этом объеме, тогда вектор поляризации

, (2)

где р_i  дипольный момент i-й молекулы.

Поляризованностью называют геометрическую сумму дипольных моментов молекул единицы объема диэлектрика.

В Си единицей измерения поляризованости является Кл/м².

На основании экспериментов установлено, что поляризованность неполярных диэлектриков линейно зависит от напряженности внешнего электрического поля, т. е.

= n₀ ₀= æ, (3)

где æ  диэлектрическая восприимчивость диэлектрика (безразмерна), зависит от рода диэлектрика и не зависит от напряженности внешнего электрического поля. Поляризованность можно найти по формуле

= n_o, (4)

где р_i = ₀_iЕ  электрический дипольный момент i-й молекулы;

концентрация молекул; n  число всех молекул в объеме V;

æ = n₀  0;  = 4r³  коэффициент, характеризующий поляризуемость атома, зависит от свойств атома.

Поляризованность полярного диэлектрика

. (5)

где  средний дипольный момент одной молекулы.

В слабых электрических полях поляризованность полярных диэлектриков рассчитывают по формуле

. (6)

Диэлектрическую восприимчивость находят по формуле Дебая-Ланжевена

æ = . (7)

2.6. Основные уравнения электростатики диэлектриков

2.6.1. Теорема Гаусса для поля вектора поляризации ()

Рис. 4

Пусть произвольная замкнутая поверхность S охватывает некоторую часть изотропного диэлектрика.

При внесении диэлектрика во внешне электростатическое поле он поляризуется. Найдем заряд, который проходит через малый элемент dS замкнутой поверхности S (рис. 4).

Если ₊ и _  векторы, характеризующие смещение положительного и отрицательного связанных зарядов, то через элемент поверхности dS наружу поверхности S выйдет положительный заряд dq₊^* =₊dSсos.

Согласно закону сохранения заряда одновременно через элемент dS внутрь поверхности S войдет отрицательный заряд dq_^*=_dSсos. Тогда суммарный связанный заряд, выходящий наружу поверхности S через элемент dS,

dq^*=₊dSсos+_dScos.

С учетом того, что =,для суммарного заряда получим

dq^*=dScos, (8)

где =₊ + _  расстояние, на которое сместились положительные и отрицательные связанные заряды изотропного диэлектрика друг относительно друга при поляризации. Поскольку = дипольный момент единицы объема диэлектрика, или Р =иdq^* = PdSсos, то суммарный связанный заряд

. (9)

Скалярное произведение в формуле (6.9) является элементарным потоком вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность.

Интегрируя выражение (4.9) по всей замкнутой поверхности S, найдем полный заряд, который вышел при поляризации из объема, охватываемого этой поверхностью, т. е.

q^* == q^*. (10)

Внутри замкнутой поверхности S останется избыточный связанный заряд q^*. Таким образом, вышедший заряд равен оставшемуся внутри поверхности S избыточному связанному заряду с обратным знаком.

Вывод: Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом этой поверхностью, т. е.

= q^*. (11)

Следовательно, формула (11) выражает теорему Гаусса для вектора поляризации .

В дифференциальной форме теорема Гаусса для вектора поляризации записывается в виде

, (12)

т. е. дивергенция поля вектора равна с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда.

Замечание: объемная плотность избыточных связанных зарядов внутри диэлектрика равна нулю при одновременном выполнении следующих условий:

1. внутри диэлектрика не должно быть сторонних зарядов ( = 0);

2) диэлектрик должен быть изотропным и однородным.