4.2.12. Энергия электрического поля при наличии диэлектрика

Если в электрическом поле находится произвольный диэлектрик, то для нахождения энергии можно использовать формулы (1.80) и (1.81).

Согласно теории энергию W электрического поля при наличии изотропного диэлектрика можно записать, используя и .

Действительно используя формулы (1.87) и (6.18) получим

. (4.38)

Так как энергия заключена в некотором объеме, то можно говорить о ее локализации в самом поле. Это положение нашло экспериментальное подтверждение в опытах с переменными электромагнитными полями. Действительно, переменные поля могут существовать независимо от возбудивших их источников и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн со скоростью света, т. е. переносят энергию.

Следовательно, носителем энергии является само поле.

Поэтому можно найти распределение электрической энергии в пространстве с некоторой объемной плотностью

. (4.39)

Объемная плотность энергии электрического поля при наличии диэлектрика в  раз больше, чем при отсутствии диэлектрика, хотя напряженность поля в обоих случаях одна и та же.

Это связано с тем, что при создании поля в диэлектрике оно совершает дополнительную работу по его поляризации.

Следовательно, под энергией поля в диэлектрике следует понимать всю энергию, затрачиваемую на возбуждение электрического поля, которая складывается из собственной электрической энергии и энергии, расходуемой на совершение работы при поляризации. Действительно, если в формулу (6.39) вместо электрического смещения подставить величину , то

, (4.40)

где первое слагаемое соответствует объемной плотности энергии поля в вакууме, второе  связано с дополнительной объемной плотностью энергии, расходуемой на поляризацию диэлектрика.

8.1. Диэлектрики в тепловом равновесии

Рассмотрим процесс поляризации изотропных диэлектриков с точки зрения термодинамики. Диэлектрик будем считать изотропным как в отсутствие, так и при наличии внешнего электрического поля. Такие диэлектрики широко распространены среди жидкостей и газов.

Если диэлектрик неоднороден, то можно выделить столь малый объем dV, в пределах которого он будет однородным. Соответственно в этом объеме будет однородным давление и напряженность электрического поля.

Применим первое начало термодинамики к такому объему диэлектрика:

Q = dU + A, (8.1)

где Q  количество теплоты, переданное диэлектрику; dU  изменение внутренней энергии; A  элементарная работа, состоящая из двух слагаемых: т. е. A = A₁ + A₂,

где A₁ = РdV  работа системы против внешнего давления, которая была рассмотрена подробно в термодинамике; A₂  работа электрического поля.

Работа по перемещению заряда в электрическом поле

A₂ = dq, где dq = dS,  = Е, D = .

C учетом этого формула работы электрического поля принимает вид

A₂ = .

Cчитая объем при поляризации постоянным и полагая его единичным получаем A₂ = . Поэтому первое начало термодинамики принимает видQ = dU , (8.2)

где A = или ,

где первое слагаемое  работа, затрачиваемая на изменение поля; второе слагаемое  работа, затрачиваемая на поляризацию среды, с которой связана сила, действующая на диэлектрик со стороны поля.

Для дальнейшего рассмотрения вопроса введем энтропию S, температуру Т и термодинамические функции: свободную энергию

 = U  TS, (8.3)

термодинамический потенциал Ф =   (8.4)

и энтальпию I = U + . (8.5)

Согласно термодинамике для квазистатических процессов Q = TdS и формула (8.2) принимает вид dU = TdS + . (8.6)

Используя формулу (8.6) и взяв дифференциалы от выражений (8.3), (8.4) и (8.5), получаем ряд следующих уравнений:

d =  SdT + , (8.7)

dФ =  SdT  , (8.8)

dI = TdS  .(8.9)

Формулы (8.7), (8.8) и (8.9) являются основными уравнениями термодинамики диэлектриков. Для того чтобы сделать конкретные выводы к этим уравнениям необходимо добавить уравнение состояния, например, в виде D = f (Е, Т, ), где   плотность диэлектрика.

После интегрирования выражения (6.47) при постоянных Т и  получим

(8.10)

где ₀(Т, ) характеризует свободную энергию диэлектрика при отсутствии в нем электрического поля. Поскольку

dW =  A , где A = dV,

то энергия (8.11)

выражает не внутреннюю, а свободную энергию диэлектрика, точнее, ту ее часть, которая зависит от напряженности Е электрического поля.

Если в качестве уравнения состояния использовать формулу ,

где  зависит только от Т и , тогда получим

. (8.12)

Применяя формулы (8.13) и (8.7), найдем внутреннюю энергию диэлектрика при  = сonst: U =   . (8.13)

Используя первое начало термодинамики для диэлектриков и последнюю формулу (8.13), находим, что

(8.14)

где U₀(T, ) - внутренняя энергия диэлектрика при E = 0 внутри его.

Если диэлектрическая проницаемость среды не зависит от температуры, то электрическая составляющая свободной и внутренней энергий диэлектрика равны. При наличии температурной зависимости диэлектрической проницаемости это равенство не выполняется. Адиабатическое и квазистатическое изменение поляризации диэлектрика приводит к изменению температуры, т. е. наблюдаетсяэлектрокалорический эффект. При таком процессе энтропия остается постоянной. Если ее рассматривать как функцию напряженности Е и температуры Т, т. е.S=f(E,T) при постоянной плотности (= сonst), то для бесконечно малого процесса получим

. (8.15)

Известно, что

,

где по определению энтропии; С_Е - теплоемкость единицы объема диэлектрика при постоянной напряженности электрического поля.

Из формулы (8.8) следует, что

. (8.16)

Следовательно, изменение температуры [см. (6.55)]

.

Если напряженность электрического поля изменяется от Е₁ до Е₂, то температура диэлектрика изменяется по закону

. (8.17)