6.2.6. Циркуляция вектора

При внесении вещества в магнитное поле возникают токи намагничивания, поэтому циркуляция вектора будет определяться не только токами проводимостиI, но и токами намагничивания I^*, т. е.

. (4.54)

Если циркуляция векторов и берется по одному и тому же контуру L, то, решив совместно (4.53) и (4.54), получим

(4.55)

где

(4.56)

 напряженность магнитного поля.

Следовательно,

. (4.57)

Эта формула выражает теорему о циркуляции вектора : циркуляция вектора по произвольному контуруL равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром.

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора записывается в виде

[] = , (4.58)

т. е. ротор вектора равен плотности тока проводимости в той же точке вещества. Используя формулы (4.56), (4.57) и (4.58), имеем

(1+)=.

Так как =₀, то  = 1 + . (4.59)

6.2.7. Граничные условия для векторов и

Найдем условия для векторов и на границе раздела двух однородных магнетиков.

Для нахождения условия для вектора применим теорему Гаусса, т. е.

. (4.60)

В качестве замкнутой поверхности возьмем малой высоты цилиндр, расположенный на границе раздела двух магнетиков (рис. 4.17).

Рис. 4.17.

Полный поток вектора сквозь цилиндрическую поверхность запишем с учетом того, что потоком сквозь боковую поверхность цилиндра можно пренебречь:

. (4.61)

При нахождении обеих проекций вектора на общую нормаль получими после подстановки в предыдущее равенство получим

. (4.62)

Следовательно, нормальная составляющая вектора одинакова по обе стороны границы раздела магнетиков и скачка не испытывает.

При нахождении условия для вектора используем теорему о циркуляции ,формула (4.57).

Предположим, что вдоль поверхности раздела двух магнетиков течет поверхностный ток проводимости с линейной плотностью i.

В качестве замкнутого контура L используем прямоугольник, высота которого мала по сравнению с его длиной (рис. 4.18).

Рис. 4.18

Циркуляция вектора на боковых сторонах контура L практически равна нулю. Поэтому циркуляцию вектора запишем в виде

,

где i_N  проекция вектора на нормаль к контуру (вектор образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему).

Обе проекции вектора возьмем на общий орт касательной (в магнетике 2), т. е.

.

С учетом этого предыдущее уравнение принимает вид

. (4.63)

Вывод: при переходе границы раздела двух магнетиков тангенциальная составляющая вектора испытывает скачок из-за наличия поверхностных токов проводимости.

Если же на границе раздела токов проводимости нет, то тангенциальная составляющая вектора не испытывает скачка, т. е.

. (4.64)

Таким образом, если на границе раздела двух однородных магнетиков тока проводимости нет, то составляющие В_ и Н_n испытывают скачок. Составляющие В_n и Н_ изменяются н с учетом этого в предыдущем уравнении (4.64) составляющие Н_2 и Н_1 не испытывают скачка, т. е. изменяются непрерывно.