6.6. Циркуляция вектора индукции магнитного поля

Циркуляцией вектора индукции магнитного поля (циркуляцией вектора ) называют криволинейный интеграл по произвольному контуруL скалярного произведения вектора индукции и вектора элемента этого контура, т. е.

, (6.25)

где  проекция на.

6.6.1. Теорема о циркуляции

Циркуляция по произвольному контуруL в вакууме равна произведению магнитной постоянной ₀ на алгебраическую сумму токов, охваченных этим контуром.

Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта, а ток противоположного направления  отрицательным (рис. 6.7, где I₁ > 0, I₃ > 0, I₂ < 0, I₄ < 0).

Рис.6.7.

Рассмотрим магнитное поле прямого проводника с током бесконечной длины (рис. 6.8, ток направлен к нам). В качестве замкнутой поверхности используем окружность L радиуса r. Вектор индукции магнитного поля перпендикулярен радиус-векторуи совпадает по направлению с вектором элемента длины.

Рис. 6.8

Согласно определению циркуляции вектора имеем

, (cos =1).

Применив формулу индукции прямого проводника с током бесконечной длины, последнее равенство перепишем в виде

. (6.26)

Теорема остается справедливой и для контура произвольной формы, который охватывает N проводников с током, т. е.

. (6.27)

Формулу (6.27) называют законом полного тока.

Если ток распределен по объему, где расположен контур L, то

.

Интеграл берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур L.

Поэтому плотность тока под интегралом соответствует точке, где расположена площадка (направление обхода и вектор нормалисвязаны правилом правого винта). С учетом этого теорему о циркуляции запишем в виде

. (6.28)

Замечание 1: Магнитное поле называют вихревым, или соленоидальным, поскольку циркуляция вектора не равна нулю (в отличие от электростатического поля, которое является потенциальным).

Замечание 2: Поле вектора определяется всеми токами, а циркуляция вектора только теми токами, которые охватывает данный контур.

6.6.2. Дифференциальная форма теоремы о циркуляции

Рассмотрим отношение циркуляции вектора к площадкеS, натянутой на контур L. Ориентация этого контура связана с вектором нормалик плоскости контура правилом правого винта. В пределе приS  0, имеем

. (6.29)

Формулу (6.29) называют ротором поля .

Следовательно, этот предел представляет собой скалярную величину, равную проекции вектора на нормаль. Используя (6.29), формулу (6.28) представим в виде

(6.30)

или

, (6.31)

где  векторный дифференциальный оператор.

Следовательно,

. (6.32)

Ротор поля совпадает по направлению с вектором плотности токав данной точке. Формула (6.32) дифференциальная форма теоремы о циркуляции . Дифференциальная форма теоремы о циркуляциирасширяет ее возможности для исследования и расчета сложных магнитных полей.