6. Потенциал электрического поля
Если в одну и ту же точку данного электростатического поля помещать пробные заряды, например, кратные q0:
qо1 = qo, qo2 = 2qo, ... , qon= nqo,
то они будут характеризоваться различным значением потенциальной энергии:
Wp1= Wp, Wp2 = 2Wp, ... , Wpn= nWp.
Отношение потенциальной энергии к соответствующей величине пробного заряда всегда будет величиной постоянной, т. е.
,
(24)
Величину называют потенциалом электростатического поля в данной точке.
Таким
образом, для описания электростатического
поля, кроме силовой характеристики
напряженности
вектора
,
используют скалярную энергетическую
характеристику этого поля
потенциал
.
Используя формулу (18), найдем потенциал электростатического поля точечного заряда q на расстоянии r от него в СИ:
.
(25)
Если среда, окружающая заряд безграничный диэлектрик с проницаемостью , то потенциал электростатического поля точечного заряда q на расстоянии r
.
(26)
Если электростатическое поле создано системой точечных зарядов:
q1, q2, ... , qn,
то на основании (18):
потенциал результирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности,
т. е.
.
(27)
Из (25) следует, что заряд q0, находящийся в произвольной точке электростатического поля с потенциалом , характеризуется потенциальной энергией Wp = q0. (28)
Физический смысл имеет не сам потенциал поля, а разность потенциалов, поэтому работа сил этого поля над зарядом qo записывается в виде
А= Wp1 Wp2 = q0(1 2), (29)
где
1
и 2
потенциалы
электрического поля
начальной и конечной точек перемещения
пробного заряда.
Если заряд q0 из точки с потенциалом удаляется на бесконечность, где потенциал равен нулю ( = 0) или перемещается из бесконечности в данную точку поля, то
А = q0. (30)
В СИ за единицу потенциала принят вольт (В).
7. Связь между е и
Электрическое
поле полностью описывается векторной
функцией
.
В этом случае можно найти силу, действующую
на пробный заряд в любой точке поля, и
вычислить работу поля при любом
перемещении пробного заряда.
Но
электрическое поле также характеризуется
и потенциалом
.
Следовательно, между ними существует связь. Действительно, согласно (21) и (29), для единичного, положительного заряда (qo= +1 Кл) имеем
.
(31)
Формула
(31) остается справедливой не только для
конечных, но и для элементарных перемещений
,
т. е.
или
.
(32)
Следовательно,
проекция вектора
на направление
равна со знаком минус первой производной
потенциала по данному направлению.
Если
перемещение
параллельно оси Х, то
=
dx,
где
единичный вектор оси Х; dx
приращение координаты х. Исходя из
этого, получим
(
)
=
dx
= Exdx,
где
Ех
проекция вектора
на ось Х.
Значит, с учетом (1.55) последнее выражение запишем в виде
,
(33)
где
символ частной производной
свидетельствует о том, что функцию
=
(х,
у, z)
необходимо дифференцировать только по
х, считая у, и z
постоянными.
Аналогично можно найти выражения для проекций Еу и Еz, т. е.
,
,
.
Зная
проекции вектора
на оси координат можно найти и сам
вектор,
.
(34)
В
формуле (34) выражение в скобках является
градиентом потенциала
(grad
или
).
Таким образом,
=
grad
=
.
(35)
Знак
«»
означает,
что вектор
направлен в сторону убывания потенциала;
векторный оператор «набла».