7

Квантовая физика

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________0

Лекция 12

6. Атом водорода и водородоподобные атомы

6.1. Квантовая модель атома водорода

Рассмотрим поведение электрона в атоме водорода при n = 1, потенциальная энергия которого

, (6.1)

где r  расстояние между электроном и ядром атома; Z = 1.

В центральносимметричном поле (волновая функция не зависит от ориентации радиус– вектора частицы) потенциальная энергия зависит только от расстояния частицы до силового центра.

Заметим, что скорости электронов в атоме нерелятивистские ( 10⁶ м/с), поэтому главным в атоме является кулоновское взаимодействие электронов с ядром и друг с другом. В этом случае уравнение Шредингера с энергией электрического взаимодействия атомных частиц не содержит их спинов. Поэтому по отдельности сохраняются орбитальный момент импульса, обусловленный движение электронов вокруг ядра, и спиновой момент атома.

Соответственно, электронная волновая функция распадается на произведение координатной и спиновой волновых функций, из которых уравнением Шредингера определяется только первая.

Рис. 6.1

Координатная волновая функция () стационарного состояния электрона в атоме водорода с энергией W, будет решением уравнением Шредингера, которое быстро убывает при возрастании r.

. (6.2)

Решения уравнение (6.2) существуют только при значении полной энергии

, (6.3)

где n = 1, 2, 3, …,  главное квантовое число; Z  порядковый номер атома в периодической системе элементов Д. И. Менделеева (для водорода Z = 1);

(6.4)

 называют ионизационным потенциалом атома водорода.

Дискретные значения энергии W_n образуют энергетический спектр атома во-дорода (рис. 6.1, где приведен график потенциальной энергии электрона).

Основной особенностью линейчатого спектра атома водорода является то, что он состоит из группы серий: Лаймана (1906 г.); Бальмера (1885 г.); Пашена (1909 г.) и т. д. (рис. 6.2). При переходе с высшего энергетического уровня с энергией W_m на более низкий энергетический уровень с энергией W_n испускается квант света частотой _mn = W_m – W_n .

Число n = 1, 2, 3, …, характеризующее энергетические уровни этого спектра называется главным квантовым числом.

Число m может принимать значения: n + 1, n + 2, n + 3, … . Координатная волновая функция электрона () определяется тремя квантовыми числами: главным квантовым числом n, орбитальным квантовым числом , которое при заданном n принимает ряд значений:

= 0, 1, 2, …, n  1,

и магнитным квантовым числом .

При заданном магнитное квантовое число имеет 2+1 значений:

= 0,  1,  2, … ,  .

Квантовые числа и появляются в связи с тем, что момент импульса электрона в кулоновском поле, которое является центральносимметричным, сохраняется. Поэтому стационарные состояния электрона в атоме водорода отличаются друг от друга значениями момента импульса электрона и его ориентацией. Квантовые числа n, и не полностью определяют состояние электрона, т. к. у электрона есть еще и спин.

Спиновая степень свободы электрона характеризуется магнитным

Рис.6.2 спиновым числом m_s,

принимающем два значения m_s =  1/2. Совместно четыре квантовых числа n, , и m_s полностью определяют состояние электрона в атоме водорода. Следовательно, электрон имеет четыре степени свободы.

В атомной физике состояние электрона с различными значениями орбитального квантового числа, обозначают следующим образом: = 0 (S – состояние), = 1 (р – состояние), = 2 (d – состояние) и т. д. Состояние электрона в атоме при n =1 и = 0 называют основным невозбужденным состоянием. Волновая функция  и вероятность ² обнаружить электрон в конкретной точке атома зависят только от r, т. е.  = (r) соответствует s – состоянию электрона в атоме, которое сферически–симметрично.

Похожие с атомом водорода свойства имеют водородоподобные ионы.

Любой из них состоит из ядра с зарядом Ze и одного электрона. Энергетический спектр водородоподобного иона находится по формуле (5.34)

.

Размер иона оказывается в Z раз меньше боровского радиуса.

Это связано с тем, что в водородоподобном ионе электрон притягивается к ядру в Z раз сильнее, чем в атоме водорода, а в остальном движение электрона остается сходным с его движением в атоме водорода.