8.24. Энергии основного состояния атома водорода

и энергии нулевых колебаний осциллятора

Некоторые задачи квантовой механики могут быть решены или поняты на качественном уровне, если использовать различные комбинации законов классической физики и соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Пример 1. Оценим энергию основного состояния атома водорода.

Основным состоянием атома водорода является состояние с наименьшей энергией (1 – энергетический уровень).

Полная механическая энергия атома водорода равна сумме кинетической энергии вращающегося электрона вокруг ядра и потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром, т. е.

W = W_к + W_р,

где W_к = p²/(2m) – кинетическая энергия вращающегося электрона вокруг ядра;

W_р = –q_e²/(4₀r) – потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром.

При допущении неопределенности положения электрона в пределах радиуса его орбиты, т. е. r  r и неопределенность импульса в пределах самого импульса, т. е. р  р.

Тогда на основании соотношений неопределенностей Гейзенберга имеем

r  р  h /(4)

или по порядку величины р  h /2 r.

Если возьмем равенство

р = h /(2r)

и подставим в формулу кинетической энергии, то полная энергия атома водорода

W = h²/(4²m r²) – q_e²/(4₀r).

Теперь перейдем к условию минимума, т. к. нас интересует состояние с наименьшей энергией:

dW/dr = – h²/(4²m r³) + q_e²/(4₀r²) = 0.

Корень этого уравнения, соответствующий минимуму полной энергии W, равен

r₁ = ₀h² / (m q_e²).

В квантовой механике, полученное значение r₁ называют радиусом первой боровской орбиты.

После вычисления получим r1  510 11 м. Для энергии основного состояния атома водорода получим

W₁ = – m q_e⁴ / (8²₀²h²).

W₁ = – 13,6 эВ

или

W₁ = – 2,176 10 ^18Дж.

Пример 2. Энергия нулевых колебаний одномерного

гармонического осциллятора.

В качестве одномерного гармонического осциллятора рассмотрим колебания груза на пружине (пружинный маятник), который характеризуется потенциальной энергией

W_р = k x² / 2,

представляющий собой, параболическую потенциальную яму.

Для оценки минимально возможной полной энергии осциллятора применим соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Полная механическая энергия данного осциллятора

W = W_к + W_р,

где W_к = p_х² / (2m) – кинетическая энергия осциллятора; W_р = k x² / 2.

Следовательно,

W = p_х² / (2m) + k x² / 2.

Согласно классической механике минимум полной энергии W = 0 соответствует х = 0 и р_х = 0, т. е. пружинный маятник неподвижен.

При рассмотрении квантового случая должны учесть, что одновременно точные значения координаты (х) и проекции импульса на ось х (р_х) указать невозможно.

Согласно, принципа неопределенностей Гейзенберга, имеем

х  р_х  h /(4).

Если положим, что х  х ; р_х  р_х или по порядку величины х  р_х  h / (2), т. е. р_х  h /(2x).

При переходе к равенству р_х = h /(2x) для полной энергии осциллятора будем иметь

W = h² /(8²mx²) + k x² / 2.

Перейдем к условию минимума энергии:

dW /dx = – h² /(4²mx³) + k x = 0.

Корень этого уравнения запишем в виде

.

Тогда минимальное значение полной энергии рассматриваемого квантового осциллятора

W₀ = h /(2).

или

W₀ = h,

где

– собственная круговая частота осциллятора;  = 2.

Данная оценка отличается от точного значения только численным множителем 1/2.

Полная энергия квантового осциллятора называется энергией нулевых колебаний гармонического осциллятора.