7.3. Условия максимума и минимума интерференции

Явление наложения когерентных световых волн, в результате которого наблюдается чередование усиления света в одних точках пространства и ослабления в других, называют интерференцией света.

Необходимым условием интерференции света является когерентность складываемых синусоидальных волн.

Волны называют когерентными, если не изменяется с течением времени разность фаз складываемых волн, т. е.  = const.

Этому условию удовлетворяют монохроматические волны, т.е. волны равных частот (₁ = ₂ = ). В силу поперечности электромагнитных (световых) волн условие когерентности является недостаточным для получения устойчивой интерференционной картины.

Достаточное условие заключается в том, чтобы колебания векторов , складываемых электромагнитных полей совершались вдоль одного и того же или близких направлений. При этом должно происходить совпадение не только векторов, но и, что будет наблюдаться лишь в том случае, если волны распространяются вдоль одной и той же прямой, т.е. являются одинаково поляризованными.

Найдем условия максимума и минимума интерференции.

Для этого рассмотрим сложение двух монохроматических, когерентных световых волн одинаковой частоты (₁ = ₂ = ), имеющих равные амплитуды (Е₀₁ = Е₀₂ = Е₀), совершающих колебания в вакууме в одном направлении по закону синуса (или косинуса) , т. е.

Е₁ = Е₀₁sin(t  kr₁ + ₀₁), (7.14)

Е₂ = Е₀₂sin(t  kr₂ + ₀₂), (7.15)

где r₁, r₂  расстояния от источников S₁ и S₂ до точки наблюдения на экране;

₀₁, ₀₂  начальные фазы; k =  волновое число.

Согласно принципу суперпозиции (установлен Леонардо да Винчи) вектор напряженности результирующего колебания равен геометрической сумме векторов напряженности складываемых волн,

т. е.

.

Для простоты положим, что начальные фазы складываемых волн равны нулю, т. е. ₀₁ = ₀₂ = 0. По абсолютной величине, имеем

Е = Е₁ + Е₂ =2Е₀sin[t]cos. (7.16)

В (7.16) выражение (r₂  r₁)n =   оптическая разность хода складываемых волн; n  абсолютный показатель преломления среды.

Для других сред отличных от вакуума, например, для воды (n₁, ₁), стекла (n₂, ₂) и т. д. k = k₁ n₁; k = k₂ n₂; =₁n₁; =₂ n₂ ;

k₁= ; k₂=,

где   длина волны света в вакууме,

Из формулы (7.16) следует, что результирующая электромагнитная волна изменяется со временем с той же циклической частотой .

Множитель cos не зависит от времени, поэтому величину

Е_0,рез = 2Е₀cos (7.17)

 называют амплитудой результирующей волны.

Амплитуда мощности волны определяется (для единицы поверхности фронта волны) вектором Пойнтинга, т. е. по модулю

, (7.18)

где= сw, w = ₀E²  средняя, объемная плотность энергии электромагнитного поля (для вакуума  =1), т. е. = с ₀E².

Если J= интенсивность результирующей волны, а

J₀ = с₀

максимальная интенсивность ее, то с учетом (7.17) и (7.18) интенсивность результирующей волны будет изменяться по закону

J = 2J₀{1+ сos[k(r₂  r₁)]}. (7.19)

Разность фаз складываемых волн

 = ₂  ₁ = =сonst (7.20)

и не зависит от времени, где

₂ = t  kr₂ + ₀₂; ₁ = t  kr₁ + ₀₁.

Амплитуду результирующей волны найдем по формуле

(7.21)

где  = k(r₂  r₁)n = . (7.22)

Возможны два случая:

1. Условие максимума.

Если разность фаз складываемых волн равна четному числу 

 = 2m,

где m = 0, 1, 2, ... , то результирующая амплитуда будет максимальной,

т. е.

(7.23)

или Е₀ = Е₀₁ + Е₀₂. (7.24)

Следовательно, амплитуды волн складываются, а при их равенстве

(Е₀₁ = Е₀₂) результирующая амплитуда  удваивается.

Результирующая интенсивность также максимальна:

J_max = 4J₀. (7.25)

Используя формулу (7.22), находим условие максимума для оптической разности хода , т. е.

^мах = 2m =, (7.26)

^мах = 2m. (7.27)

Вывод: Оптическая разность хода равна четному числу полуволн.