Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Политехнический институт СФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряды в комплексной плоскости

.doc

Скачиваний:

106

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

212.48 Кб

Скачать

☆

§8 Числовые ряды

Ряд

, (23)

членами которого являются комплексные числа, называется числовым рядом (в комплексной области). Ряд (23) можно записать в виде

где и  действительные числа.

Сумма первых членов ряда (23) называется частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда: то ряд (23) называется сходящимся, а суммой ряда; если не существует, то ряд (23) называется расходящимся.

Очевидно, что ряд (23) сходится тогда и только тогда, когда сходится каждый из рядов

(24)

(25)

При этом где сумма ряда(24), а сумма ряда (25). Это означает, что исследование сходимости ряда с комплексными членами сводится к исследованию сходимости рядов (24), (25) с действительными членами.

В теории рядов с комплексными членами основные определения, многие теоремы и их доказательства аналогичны соответствующим определениям и теоремам из теории рядов с действительными членами.

Приведем некоторые из них.

Теорема: (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд (23) сходится, то его общий член при стремится к нулю, т.е.

Ряд (23) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

(26)

Теорема: Если сходится ряд (26), то абсолютно сходится ряд (23).

При исследовании на сходимость рядов с комплексными членами применимы все известные из действительного анализа признаки сходимости знакопостоянных рядов, в частности признак Даламбера: Если существует , то при ряд (26) абсолютно сходится, а при  расходится.

§9 Степенные ряды

Степенным рядом в комплексной области называется ряд

, (27)

или ряд , (28)

где комплексные числа (коэффициенты ряда),

Ряды (27) и (28) при одних значениях аргумента могут сходиться, при других  расходиться. Совокупность всех значений , при которых ряд (27) [(28)] сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Теорема (Абеля): Если степенной ряд (27) сходится при (в точке , то он абсолютно сходится при всех значениях , удовлетворяющих условию

Следствие: Если ряд (27) расходится при , то он расходится при всех значениях , удовлетворяющих условию , т.е. вне круга радиуса с центром в начале координат.

Из теоремы Абеля следует, что существует такое число , что при всех , для которых , степенной ряд (27) абсолютно сходится. Эти точки лежат на комплексной плоскости внутри круга радиуса с центром в точке

Величина называется радиусом сходимости ряда, круг называется кругом сходимости ряда, вне этого круга ряд расходится, а на границе  может как сходиться, так и расходиться.

Если , то ряд (27) сходится в точке , если , то ряд сходится на всей комплексной плоскости. Для ряда (28) кругом сходимости является круг с центром в точке .

Радиус сходимости находится по формулам:

Свойства ряда (27), (28):

Сумма степенного ряда внутри круга его сходимости есть аналитическая функция;
Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать любое число раз, полученный при этом ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Примеры: Найти область сходимости рядов:

Решение: Здесь Данный ряд сходится в области

и исследовать сходимость ряда в точках

Решение: Здесь

Ряд сходится при всех , удовлетворяющих неравенству т. е. Кругом сходимости является круг с центром в точке и радиусом равным 1.

Точка лежит внутри круга сходимости, в этой точке ряд сходится абсолютно. Точка лежит на границе круга сходимости, в этой точке ряд может сходится (абсолютно или условно) и расходиться. Подставляя значение в выражение общего члена ряда, получим Числовой ряд с общим членом расходится согласно интегральному признаку Коши. Следовательно, в точке степенной ряд расходится.