Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ

.pdf

Скачиваний:

682

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

2.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3811 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

а) a = 2i + 3 j + k - 12 (2i + 8 j + 6k );

б)

a = 5i + 3 j + 2k - 3

+ j +

k ÷

;

в) a = i + 2 j + k - 15 (4i + 8 j + 3k );

г) a = -i + 8 j - 6k + 4(i - j + 2k ).

6. Найти длину и

направляющие

косинусы вектора

если

= 3a - 5b + c ,

a = 4

+ 7

+ 3

+ 2

, c = 2

- 3

7. Нормировать вектор a :

а) a =

+ 2

- 2

;

б) a = 4

+ 3

;

в) a =

;

г) a = 2

- 3

+ 6

8. Найти скалярное произведение векторов a и

а) a = 2

+ 3

+ 4

;

б) a =

- 3

= 3

+ 2

;

в) a =

= 2

+ 3

+ 8

;

г) a = -2

= -

+ 5

+ 8

;

д) a = -2

+ 3

+ 2

- 3

;

е) a =

= 6

+ 3

+ 8

;

ж) a = 4

= -

- 7

;

з) a =

+ 2

= -4

+ 2

9. При каком значении m векторы a и

перпендикулярны:

101

а) a = 2mi

+ 3 j + k , b = i + mj + 3k ;

б) a = 3

+ k

+ 8k ;

= 3mi

+ mj

в) a = 3

+ 4

- 2

;

= 2mi

+ 3mj

г) a =

+ 2

- 3

+ 2

;

+ mk

= mi

+ 3

+ 4

= 4

- 7

д) a = mi

+ mj

. Определить угол между векторами a и

а) a = 5

+ 6

= 6

- 5

;

б) a = 3

+ 4

= 5

+12

;

в) a =

= 5

; г) a =

= -2

+ 2

- 2

;

д) a = 4

-10

=11

- 8

- 7

;

е) a = 2

- 2

= 2

+ 4

. Даны

= 3 и

= 4 ,

угол между векторами

равен

2π

. Найти: а)

; б) (3a - 2

)(a + 2

);

в)

(a +

)2.

. Даны три вектора:

a = (1;-1;1),

= (5;1;1)

c = (0;3;−2).

Найти:

а)

2 +

2 - (a ×

)×(

×c ); б) (a ×c )×(a ×

2 ×(

×c ).

. В плоскости Оху найти вектор

, перпендикулярный

вектору

a = (5;−3;4)

имеющий одинаковую

ним

длину.

×(a ×c ) - c ×(a ×

) ортогонален вектору

. Доказать, что вектор d

a .

102

. Вычислить угол ϕ между векторами a +

и a −

, если

векторы

и b

образуют

угол,

равный

=1.

Дана

точка

A(3;0;5)

вектор a =

− 9

+ 3

Найти

длину вектора

, перпендикулярного вектору

a , если

известно, что точка В принадлежит оси Oz.

Найти

внутренние

углы

треугольника с

вершинами

A(1;7;2), B(5;−3;3), C(12;−1;−5).

. Найти прa

и пр

a , если

а)

a = (10;2;−11),

= (−2;1;−2);

б)

a = (2;2;1),

= (6;3;2);

в)

a = (1;−3;1),

= (12;−16;15).

Даны

три вектора:

a = (7;−5;3),

= (−2;4;−7), с = (4;4;−2).

Вычислить прc (a +

) .

Даны

две

точки

P(−5;7;6), Q(7;−9;9).

Вычислить

проекцию вектора a = (1;−3;1) на вектор

Найти проекцию

вектора

a = (1;2;3)

на

ось l ,

образующую с координатными осями равные острые углы.

22.

Вычислить

пр(

+c )a,

если

a = (4;3;8),

= (4;−9;8), с = (7;1;−6).

23.

Представить вектор c через

пару неколлинеарных

векторов a,

, если:

а)

с = (7;−5),a = (−1;3),

= (1;2);

б)

с = (−1;2),a = (−5;−1),

= (−1;3);

в)

с = (2;−6),a = (−5;−1),

= (−1;3).

103


24.	Даны	три	вектора			a = (3;−1),		= (1;−2), с = (−1;7).
							b
Представить вектор p = a +					+ c	через пару векторов a и
				b

b , предварительно показав, что они неколлинеарны.


25	. Даны векторы		a1 = (1;0;0), a2 = (1;1;0), a3 = (1;1;1).		Разложить
	вектор a = (−2;0;1)		по векторам a1, a2 , a3.
26	. Даны	три вектора		a1 = (3;−2;1), a2 = (−1;1;2), a3 = (2;1;−3).
	Найти	разложение		вектора a = (11;6;−7)	по базису

a1, a2 , a3.

27. Вычислить, какую работу производит равнодействующая сил

F1 = (1;−3;4), F2 = (2;5;−5), F3 = (7;−8;9), приложенных в одной точке, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения S1(3;−2;4) в положение S2 (6;8;7) .

28.

Под действием силы

= (5;2;1) точка перемещается из

C(3;0;3) в D(−1;2;1) . Найти работу силы F

29.

Даны три силы

F1 = (2;4;3), F2 = (3;−2;5), F3 = (−1;3;−2),

приложенных в одной точке. Вычислить работу равнодействующей этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения S1(2;−1;3) в положение S2 (7;4;8) .

30. Найти координаты вектора, совпадающего с высотой параллелограмма, построенного на векторах

a = (−1;2;−2), b = (3;5;−1), перпендикулярной к стороне a .

31. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на

векторах					a = 2 p − 3q и	b	= 3p + 4q , если известно, что
	p	= 2,	q	= 3	и угол между ними ϕ =			π .
	p	= 2,	q	= 3	и угол между ними ϕ =			π .
								3
								3

104


32	.	Даны		вершины		параллелограмма
		A(−3;5;6), B(3;2;1), C(6;4;4) . Найти его четвертую вершину.
33	. Доказать,		что четырехугольник с вершинами A(−3;5;6),
		B(3;2;1), C(6;4;4) и		D(4;7;−2) − квадрат.
34	.	Найти	косинус		угла	между	диагоналями
	параллелограмма,			если	заданы три		его вершины
		A(2;1;3), B(5;2;−1), C(−3;3;−3) .
35	.	Доказать,		что	cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1,			где

cosα,cos β ,cosγ − направляющие косинусы вектора.

36. Средствами векторной алгебры доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

§ 3. Векторное и смешанное произведение векторов

Тройку векторов называют упорядоченной, если указано,

какой из векторов считается первым, какой вторым и какой третьим. В записи (a;b;c ) вектор a считается первым, b – вторым, c – третьим; в записи (c;b;a) вектор c – первый, b –

второй, a – третий.

Упорядоченная тройка некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму вектору можно совершить против часовой стрелки. В противном случае указанная тройка векторов называется

левой.

10. Векторное произведение двух векторов. Векторным

произведением векторов a и b называется вектор c , длина которого численно равна S − площади параллелограмма,

построенного на векторах a и b , приведенных к общему началу, который перпендикулярен перемножаемым векторам и

направлен так, что векторы a,b ,c образуют правую тройку векторов

(рис. 1).

Из определения векторного произведения следует, что

(рис.1)

105

sinϕ = S ,

(1)

где ϕ – угол между векторами a

, S – площадь

параллелограмма.

Векторное произведение

двух

векторов a и

обозначают символом

a ´b , или

ëa b û , или

ëa,b û .

Рис. 1 Рис. 2

Выясним физический смысл векторного произведения. В

физике момент силы F с точкой приложения А относительно точки О изображают вектором OM , перпендикулярным

плоскости, в которой

лежат точка

вектор

(рис. 2).

Длина

вектора

определяется

как

произведение

длины

вектора

на

плечо

h , где h – расстояние от

точки

О до

прямой, на которой лежит вектор силы

т.е.

× h , или

точки

приложения

sin(F, r ), (r = OA – радиус-вектор

силы F) . Таким образом, момент силы F относительно некоторой точки O , есть векторное произведение радиус-

вектора r точки приложения силы на вектор силы

Свойства векторного произведения.

1) При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак

(антикоммутативность), т.е.

a ´

= -(

´ a) .

(2)

2) Ассоциативность:

(α a)´

= α (a ´

), α Î .

(3)

106

3) Дистрибутивность:

(a +

)× c = a × c +

× c .

(4)

4) Векторное произведение

a ×

= 0 ,

если a

–

коллинеарные

векторы. Пусть

векторы

a и

заданы своими координатами:

a = (a1;a2;a3),

= (b1;b2;b3 ) .

Тогда

a ×

(5)

Пример 1. Найти векторное

произведение

векторов

a = 3

+ 2

+ 7

= 2

Решение.

a ×

−

= −5i +11j − k . □

Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма,

построенного на векторах a = 5

+ 3

− 4

= 3

− 2

+ 7

Решение. Находим векторное произведение векторов

a и

−4

a ×

3 −4

−

−2

=13i − 47 j −19k . □

Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади построенного на них


параллелограмма,			то			S =	a ×		=
								b

= 132 + 472 +192 =			=		(кв.ед.). □
		169 + 2209 + 361		2739
	Пример 3.	Вычислить площадь				треугольника с

вершинами A(1;2;3), B(2;3;4), C(3;4;6).

Решение. Находим векторы AB и AC :

107

AB = (2 -1)i + (3 - 2) j + (4 - 3)k = i + j + k ,

AC = (3 -1)i + (4 - 2) j + (6 - 3)k = 2i + 2 j + 3k .

Площадь треугольника АВС равна половине площади

параллелограмма, построенного на векторах AB и AC , поэтому находим векторное произведение этих векторов:

1 1

+ k

1 1

+ 0×

1 1 1

Следовательно,

SABC =

AB ´ AC

1+1 =

(кв.ед.). □

Пример 4. Вычислить площадь параллелограмма,

построенного на векторах

2a +

4a + 3

, если

=1,

а угол между векторами a

равен 30o .

Решение.

Имеем

(2a +

) ´ (4a + 3

) = 8a ´ a +

´ 4a + 6a ´

= 8×0 - 4a ´

+ 6a ´

+ 3×0 = 2a ´

(поскольку

a × a =

= 0,

´ a = -a ´

Итак, S = 2

a ´

= 2 ×1×1×sin30o =1 (кв.ед.). □

Пример

Даны

вершины

треугольника

A(1;−1;2), B(5;−6;2)

и C(1;3;−1). Вычислить длину его высоты,

опущенной из вершины В на сторону АС.

Решение.

Найдем

Имеем

= (0;4;-3) ,

= (4;-5;0).

Тогда

42 + (-3)2 =

= 5,

-5 0

4 0

-5

4 -5 0

=15

+12

+16

-3

108

AB × AC = 15i +12 j +16k = 152 +122 +162 = 625 = 25.

Тогда длина искомой высоты h =

= 5. □

Пример 6. Даны три силы F1 = (2;−1;−3), F2 = (3;2;−1)

C(−1;4;−2).

F3 = (−4;1;3), приложенных

к точке

Определить

величину и направляющие косинусы момента

равнодействующей этих сил относительно точки A(2;3;−1).

Решение. Найдем координаты вектора

−

равнодействующей сил

F1, F2 , F3 :

R = F1 + F2 + F3 = (1;2;−1).

Далее находим момент силы R относительно точки А. Так как AC = (−3;1;−1), то, учитывая, что момент силы M

относительно данной точки есть векторное произведение этой силы на радиус-вектор точки приложения, будем иметь:

1 −1

−

−3

−1

−3 1

− 4

− 7

= AC × R =

−3 1 −1

−1

Тогда

Пронормировав

вектор

1+16 + 49

66.

имеем

−

то

есть

cosα =

cos β = −

cosγ = −

. □

Из

свойства

формулы

(5)

вытекает, что

два

ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда для их координат выполняется равенство

a1 = a2 = a3 . b1 b2 b3

109

Пример 7. Даны векторы a = 2

+ 2

= 4

+ 4

. Являются ли векторы коллинеарными?

Решение. Проверим условие коллинеарности векторов в координатах ортонормированного базиса:

24 = 24 ¹ 11.

Векторы a и b неколлинеарны. □

20 . Смешанное произведение векторов. Смешанным произведением векторов a, b и c называют скалярное произведение вектора a ×b на

вектор c , т.е. (a ×b ) c . Обозначают также abc или (a, b , c ). Смешанное произведение (a ×b ) c равно объему V

параллелепипеда, построенного на векторах a,b ,c , взятому со знаком «+»,

если тройка a,b ,c – правая, со знаком «–», если тройка a,b ,c – левая.

Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке его сомножителей; перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противоположный, т.е.

a b c = b c a = c a b = −(b a c ) = −(c b a) = −(a c b ).

Необходимым и достаточным условием компланарности векторов a,b ,c является равенство нулю их смешанного произведения:

Если векторы a,

c = 0 .

(6)

заданы

своими координатами,

т.е.

a = (a1;a2;a3 ),

= (b1;b2;b3 ),

c = (c1;c2;c3 ), то

(a ×

) c =

(7)

Отметим также, что объем треугольной пирамиды, образованной векторами a,b ,c , равен 16 ab c .

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3811 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика