БНТУ / Математика / Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей

Для лучшего понимания смысла комплексных чисел представляет интерес

дать

геометрическую

интерпретацию поля

комплексных

чисел.

У

Пусть дана

фиксированная точка О на плоскости

Т

A . Проведем через нее

две взаимно

перпендикулярные оси X и Y (оси абсцисс и ординат). Любой точке P A в этой

системе координат можно сопоставить пару (x, y), где

Н

x - абсцисса, а y - ордината

точки

P(x, y R).

Если

система

координат фиксированаБ, то соответствие пар

(x, y) R × R и точек плоскости является биективным.

Однако,

на

множестве

й

вычитания,

C заданы операции сложения,

умножения

и

деления

чисел. Поэтому необходимо еще дать

геометрическую интерпретацию

этим операциям. Пусть даны две произвольные

точки

P1

и

P2

р

в выбранной

системе координат

A , которые имеют

соответственно такие

комплексных

и (x2 , y2 ) ( x1 и x2

- абсциссы точек P1

и

:

(x1, y1 )

P2 , а y1 y2 - их

координаты

и P2

будем понимать точку

ординаты

). Под «суммой» точек P1

P3 с

точек P1

и

(x3 , y3 )= (x1 + x2 , y1 + y2 ), а под «разностью»

з

P4

с координатами

(x4 , y4 )= (x1 − x2 , y1 − y2 ).

В

P2 будем подразумевать точку

координатами

и P2 будем понимать точку P5 , которая

свою очередь под «умножением» точек P1

п

(x5 , y5 )= (x1x2

− y1 y2 , x1 y2 + x2 y2 ). Если точка P2 не совпадает с

координаты

имеетначалом координат, то можно определить и «частное» точек P1 и P2 . При

выполнении данного условия под результатом «деления» точки P1

на P2 будем

Р

точку

P6 ,

которая

имеет

координаты

подразумевать

x2 y1 − x1 y2

(x6 , y6 )=

x1x2 + y1 y2

,

. Описанные выше операции над точками

x22 + y22

x22 + y22

Покажем

теперь, что множество

C

является

расширением

(доопределением) множества действительных чисел. Для этого надо доказать, что

R C и

операции над

элементами из C в частных случаях

У

совпадают с

операциями над вещественными числами. Рассмотрим все точки (элементы из C )

Т

вида (a,0) и поставим им в соответствие действительные

числа

a R .

Применение к этим точкам (элементам) равенств (1.9)Ни (1.10) приводит к

соотношениям

Б

(a,0)+ (b,0)= (a + b,0)

(1.13)

,

(a,0) (b,0)=

(a b,0),

(1.14)

й

т.е. точки (a,0),(b,0) складываются и перемножаются друг с другом так же, как и

и

соответствующие действительные числа.

TЗамечание

1.20.T

р

оси

абсцисс,

Множество

всех точек, лежащих на

рассматриваемы

как

чисел,

по

своим

часть

множества комплексных

алгебраическим свойствам ничем не отличается от множества действительных

чисел, обычным

изображенного точками прямой линии.

и

Из

образомследует, что можно не различать точку (a,0) и действительное

число a , т.е. всегда можно полагать a = (a,0). В частности,

нуль (0,0)

и единица

сказанного

(1,0) в C оказываются обычными действительными числами 0 и 1.

п

В математике широко используется более компактная запись комплексных

чиселпо сравнению с приведенной выше.

Р

TОпределение 1.69.T Элемент (0,1) C

назовем Uмнимой единицейU

i = (0,1). При

этом i i = i2 = −1 .

Умножим теперь

действительное

число

b = (b,0)

на

i = (0,1).

Учитывая

равенство (4.2) получим, что bi = (b,0) (0,1)= (0,b). Следовательно, число bi лежит на

оси ординат и имеет ординату b ,

причем все точки оси ординат представимы в

виде таких произведений.

Пусть теперь

z = (a,b)

-

произвольная

точка

из

C . Из

равенства

(a,b)= (a,0)+ (0,b)= a + ib следует более компактная Uалгебраическая формаU записи

комплексного числа, т. е.

z = a + ib .

У

TОпределение 1.70.T Число a

называется действительной частью

Re z = a R

комплексного числа

z C .

Соответственно число b = Im z R

называетсяТмнимой

частью комплексного числа z C . Числа bi , где b R , называют чисто мнимыми.

Н

TЗамечание 1.21.T Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда

равны их вещественные части.

Б

В рамках Uалгебраических представленийU комплексных чисел z1

и z2 в виде

2

z1 = a + bi, z2 = c + di

с

учетом

й

чисто

формально

i

= −1

несложно

осуществить над z1 и z2

сложения, вычитания, умножения и деления.

Имеют место такие

:

равенства

(a + bi)+

(c + di)= (a + c)+ (b + d )i,

(1.15)

операции

(1.16)

(a + bi)−

(c

+ di)= (a − c)+ (b − d )i,

равенства

(1.17)

(a + bi)(c + di)= (ac −bd )+ (ad + bc)i,

и

(a + bi)(c − di)

ac + bd

bc − ad

з

a + bi

=

=

+

i.

(1.18)

c + di

(c + di)(c − di)

c2

+ d 2

c2 + d 2

Соотношения

(1.15)

-

(1.18) допускают простую геометрическую

z1 + z2

соответствует

комплексное

число,

которое

интерпретацию.

Сумме

п

сопоставляется точке, которая является концом вектора, полученного при

сложениивекторов, исходящих из начала координат и заканчивающихся в точках

P1 и P2 , изображающих комплексные числа z1 и z2 . Несложно понять

и смысл

Р

разности, если учесть как вычитаются векторы друг из друга.

описывающих комплексные числа.

TОпределение 1.71.T

Модулем

z

комплексного числа z = x + yi = x + iy будем

называть арифметический корень z =

x2 + y2 .

TОпределение 1.72.T Комплексное число

Т

z = x − iy называется

комплексно

сопряженным к числу

= x + iy .

У

z

TОпределение 1.73.T

Аргументом ϕ = arg z

комплексного числа z

называется

Б

угол между положительным направлением оси абсцисс и направлением из начала

координат в точку, которая сопоставляется z (знак arg z определяетсяН

так же, как

и в тригонометрии). При этом arg z задается с точностью до 2kπ , где k - любое

целое число.

и

р

й

Имеют место формулы

о

x = Re z =

z

cosϕ, y = Im z =

z

sinϕ

(1.19)

т

С учетом (1.19) получим

UригонометрическуюU форму записи комплексного числа.

операции

z =

z

(cosϕ + isinϕ)

(1.20)

Пусть

и

z2 = z2 (cosϕ2 + isinϕ2 ).

Тогда с учетом

з

z1 = z1

(cosϕ1 + isinϕ1 )

о

умножения, равенства i2 = −1

и элементарных

определения

тригонометрических формул получим, что

z1z2 =

z1

z2

(cos(ϕ1 +ϕ2 )+ isin(ϕ1 +ϕ2 ))

(1.21)

гдеk Z ={...,−2,−1,0,1,2,...}.

Р

Из (1.21) следует, что имеют место соотношения

п

z1z2

=

z1

z2

,arg(z1

+ z2 )= arg z1 + argz2 +2kπ ,

(1.22)

z

z1

(cosϕ1 + isinϕ1 )

z1

(cosϕ

+ isinϕ

)(cosϕ

− isinϕ

)

1

=

=

1

1

2

2

=

(cosϕ2 + isinϕ2 )

z2

z2

z2

cos2 ϕ2 + sin2 ϕ2

(1.23)

=

z1

(cos(ϕ1 −ϕ2 )+ isin(ϕ1 −ϕ2 ))

z2

Из (1.23) получим

z

z1

z

Т

1

=

1

(1.24)

z2

z

,arg

= arg z1 − arg z2 + 2kπ,

2

z2

У

где k Z .

Из

(1.21),

(1.22)

следует,

что

точку,

изображающую

произведение

Б

комплексных чисел z1 и z2 , можно получить, если вектор, сопоставляемый z1,

повернуть против часовой стрелки на угол

arg z2

, а затемН«растянуть» его в

z2

й

раз.

В

свою

очередь

из

(1.24)

видно,

что

(1.23),

1

точки

z2−1 =

=

z2

−1(cos(−ϕ2 )+ isin(−ϕ2 )). Это означает, что для получения точки

P* ,

z2

р

о

соответствующей

z−1

P

, сопоставляемой

z2 , перейти к

, надо сначала от

2

расстоянии

2

точке P , лежащей на

z

2

−1 от нуля на том же луче, котором лежит P ,

3

2

числа

P3 относительно действительной оси.

а затем перейти к точке, симметричной

з

можно получить из z2−1 посредством умножения

Результат же деления z1

на

z2

этого

комплексного

на

z1

,

геометрическая интерпретация которого была

дана выше.

Описанные выше свойства операций над комплексными числами позволяют

е

получить еще ряд важных формул. Используя формулу (1.21) и метод

Р

математическойп

индукции, можно доказать, что имеет место формула Муавра

zm =

z

m (cosmϕ + isin mϕ),m {0,1,2,...}

(1.25)

TЗамечание 1.22. TФормула (4.17) справедлива для любых m Z .

1

TОпределение 1.74.T Под

символом

r = z

n

понимают

правило, закон,