Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей

.pdf

Скачиваний:

203

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

3.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 3535

(m +1)

, p =

В этом случае исходный интеграл рационализируется с

помощью подстановки a +bxn =ts , где s - знаменатель дроби

p =

m +1

+ p Z,

p =

Тогда данный интеграл рационализуется с помощью подставки ax−n + b = ts , где S

- знаменатель дроби р.

Пример 8.26. Вычислить ∫

3 1+ 4 x

dx .

−

Переписав подынтегральную функцию в виде x

2 1

+ x

, имеем:

m = −

n =

p =

1 .

m +1

число

= 2

Т.к.

- целое

, то

имеет

место

второй случай интегрируемости

бинома

дифференциального

. Использовав подстановку 1+ x 4 = t 3 , получим

(

)

(

)

x = t3 −1 4 , dx = 4 t3 −1

3 3t2dt ,

∫x

− 1

3з

−1)

−2

t 12t

(t3 −1)dt =12∫(t6 −t3 )dt =

+ x4

dx = ∫(t3

2 (t3 −1) dt =12∫t3

е3

=12 t7

− t4 + C,

где t =

x .

336

§ 8. Интегрирование тригонометрических выражений с помощью подстановок и формул тригонометрии

1. Интегрирование тригонометрических выражений с помощью подстановок

Условимся через R(u, v)

обозначать рациональную функцию относительно

u и

v , т.е.

выражение,

которое

получено

из

любых величин u , v и

действительных чисел с помощью четырех арифметических действий.

Рассмотрим интегралы вида

∫R(sin x,cos x)dx ,

(8.10)

где R - рациональная функция аргументов

sin x и

cos x .

Такиеинтегралы

приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной

тригонометрической подстановки:

t = tg

Этой

подстановкой интеграл

∫R(sin x, cosйx)dx преобразуется

интеграл

от

рациональной

функции

иt , который

всегда

выражается

элементарных функциях.

В результате этой подстановки имеем:

переменной

2sin

cos

2tg

sin x =

иsin

1 + t

+ cos2

1 + tg

cos2

− sin 2

1 − tg

− t 2

cos x

sin

2 x

+ cos

1 + tg

2 x

+ t 2

x = 2arctgt,

2dt

РПодставляя в

= 1 + t 2 .

подынтегральное

выражение

(8.10)

вместо sin x,

cos x, dx

их

значения, выраженные через переменную t , имеем:

337

1 −t

2dt

2 ,

2 .

∫R(sin x, cos x)dx = ∫R

1 + t

Подынтегральная функция рациональна относительно t .

Заметим, что с помощью универсальной подстановки удобно вычислять

интегралы вида ∫

a cos x + bsin x

+ c

Если подынтегральную функцию R(sin x, cos x) можно представить в виде

рациональной функции R(tgx),

то лучше воспользоваться подстановкойУt = tgx ,

для которой

tgx

1 .

x = arctgt, dx =

, sin x =

cos x

1 + t 2

1 + tg

1 + t

1 + tg

1 + t

Аналогично, интегралы ∫R(ctgx)dx

приводятся

рациональному виду с

помощью подстановки t = ctgx .

В некоторых случаях нахождение интегралов вида ∫R(sin x, cos x)dx можно

осуществить с помощью других подстановоки. Укажем эти случаи.

рационализируются подстановкойt = tgx

, при этом используются формулы:

, т.е.

Если

R(sin x, cos x)

- четная функция относительно

sin x,

cos x

R(−sin x,−cos x)= R(sin x, cos x),

то

интегралы

∫R(sin x, cos x)dx

tg 2 x

иsin x = 1 + tg 2 x ,

cos

= 1 + tg 2 x .

R(sin x, cos x)

нечетная

функция

относительно

sin x ,

т.е.

Если

R(− sin x,cos x)= −R(sin x,cos x), то интеграл (8.10) рационализируется с помощью

t = cos x .

е3)

Если

R(sin x, cos x)

нечетная

функция

относительно

cos x , т.е.

R(sin x,−cos x)= −R(sin x,cos x), то интегралы ∫R(sin x, cos x)dx рационализируется с помощью t = sin x .

338

TЗамечание 8.2. TИнтегралы вида ∫

∫

лучше всего находить

sin2n+1 x

cos2n+1 x

с помощью подстановки

t = tg

Пример 8.27.

Найти ∫

4cos x +3sin x

Полагаем tg

= t

, тогда

∫

= 2∫

=2∫t2 + 6t +

9 = 2∫

2 =

4cos x +3sin x +5

1 −t2

2 +3

+ 5 (1+ t

)

1 +t

1 + t

= −

+ C = −

+ C

t +

tg 2 + 3

Пример 8.28. Найти ∫

cos5 xdx

sin6 x .

Применима

R(sin x,cos x)= cos6

нечетная

функция

относительно

cos x :

sin

подстановка t = sin x .

R(sin x,−cos x)= −R(sin x,cos x).

1−t

)

t = sin x,

dt = cos xdx,

(

−

∫

cos

= ∫

dt = ∫(t

−6

−

−4

+ t

−2

)dt =

sin

cos

x =1−t

−5

= t

−

+ t

+ С = −

−

+ С,

−5

−3

−з1

5t5

3t3

t = sin x .

∫

где

2. Интегрирование тригонометрических выражений с помощью тригонометрических

формулп

Интегралы вида

sinm x cosn xdx;

n Z,

m ≥ 0, n ≥ 0 . Если хотя бы одно

из чисел m или n - нечетное положительное целое число, то, отделяя от нечетной

степени один сомножитель и выражая с помощью формулы

sin2 x + cos2 x =1

оставшуюся четную степень через кофункцию, приходим к табличному

интегралу.

Либо,

при

нечетном

используют

подстановку

t = sin x , при

339

нечетном m - подстановку t = cos x . Если же m и n - четные неотрицательные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрических формул:

cos2 x =

1+ cos 2x ,

sin2 x = 1−cos 2x ,

sin xcos x =

1 sin 2x .

Пример 8.29. Вычислить ∫sin2 x cos3 xdx .

∫

(

)

∫

(

)

sin3 x

sin

5 x

sin

xcos

xdx =

sin

−sin

d sin x =

sin x

−sin

d sin x =

У5

−

+С

Пример 8.30. Найти ∫sin2 x cos4 xdx .

∫

sin

xcos

xdx =

∫

(sin xcos x)

cos

xdx =

∫

sin2 2x

1+ cos 2x

∫

Нdx = sin 2x +

1−cos4x

sin 4x

sin3 2x

∫sin

2xcos 2xdx =

∫

dx +

∫sin

2xd sin 2x =

−

+ С.

Если m + n = −2k,

k N , т.е. (m

+ n)

является целым четным отрицательным

формул

x =

−1,

использоватьctg x =

−1,

последовательно

понижая

степень

числом, то целесообразно

подстановки tgx

= t

или ctgx = t .

б)

Интегралы вида

∫tgn xdx,

∫ctg n xdx ,

где

n N,

n >1

находятся с помощью

cos2 x

sin2 x

тангенса или котангенса. Либо эти интегралы вычисляются подстановками

tgx = t

ctgx = t

соответственно. Если

t = tgx ,

то

x = arctgt,

dx =

Тогда

1 +t2

∫

Последний

интеграл

при

n ≥ 2

является интегралом от

+t2

xdx =оdt .

неправильной рациональной дроби, которая вычисляется по правилу

интегрирования рациональных дробей.

Аналогично, если t = ctgx , то

x = arcctgt,

dx = −

, откуда

1+t2

∫ctgn xdx = −∫1+tnt2 dt .

340

∫tg

dx, ∫ctg

в) Интегралы

вида

dx ,

где

целое

четное

cosn x

sinn x

положительное число, и интегралы вида

∫

m -

где

целые

sin2n x

cos2m x

положительные числа, находят с помощью формул:

tg2 x =

−1, ctg2 x =

−1.

cos2 x

sin2

г) Интегралы вида ∫sin mx cos nxdx,

∫cos mx cos nxdx,

∫sin mxsin nxdx находят с

помощью формул тригонометрии:

sin mxcos nx = 12 (sin (m − n)x + sin (m

+ n)x),

cos mxcos nx

12 (cos(m − n)x

+ cos(m + n)x),

Выполнив

sin mxsin nx = 12 (cos(m

− n)x − cos(m + n)x).

Пример 8.31. Вычислить ∫tg xdx .

замену переменной, имеем:

tgx = t,

d (t2 +1)

∫

tg5 xdx =

∫

dt =

−t +

dt = t4

− t2

∫

р∫

dx =

1 + t2

1+ t

4 2 2

= t

− t

1 ln

(

+ С = 1 tg4 x

− 1 tg2 x +

1 ln

(

2 x +1

+ С = 1 tg4 x −

)

т4

−1 tg2 x

1 ln

С = 1 tg4 x − 1 tg2 x − ln

cos x

+ С.

cos

Пример 8.32. Найти интеграл ∫sin 3xcos5xdx .

∫sin 3xcos5xdx = 1 ∫(sin 8x −sin 2x)dx = 1 ∫sin8xdx − 1 ∫sin 2xdx =

= −

cos8x +

1 cos 2x + С

§ 9. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

341

В § 1 – 8 рассматривались классы элементарных функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции, или, что то же, классы интегрируемых в конечном виде функций. Известно, что всякая непрерывная на

[a;b] функция f (x) имеет первообразную, т.е. существует такая функция F (x),

что F′(x) = f (x). Однако не всякую первообразную F (x)

можно выразить через

конечное число элементарных функций. Так при интегрировании

дифференциальных биномов

∫xm (a + bxn )p dx

было

отмечено,

что их

первообразные выражаются через элементарные функции (интегрируются в

конечном виде) только в трех случаях: 1) p Z ; 2)

m +1

Z ; 3)

m +1

+ p Z . Во

всех остальных случаях интеграл от дифференциального бинома не выражается

через элементарные функции.

Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции:

∫e−x2 dx - интеграл Пуассона,

∫

косинус

∫

sin x

dx - интегральный

cos x

dx - интегральный

∫

- интегральный логарифм,

ln x

∫

(

)

∫

( )

cos

dx, sinзx dx - интегралы Френеля,

∫

- эллиптический интеграл первого рода,

1 − k 2 sin2 x

∫

1− k2 sin2 xdx - эллиптический интеграл второго рода.

Каждый из приведенных выше интегралов представляет собой функцию, не

Рявляющуюся элементарной.

342

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 3535

Соседние файлы в папке Математика