Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей

.pdf

Скачиваний:

203

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

3.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3531 32 33 34 35 > Следующая >>>

соответствующими частными производными

∂z

∂x

∂y . Получаем

∂u

формулу

∂z

∂x

∂z

∂y .

(7.3)

∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

Теперь зафиксируем

и заменим

соответствующими частными

производными

∂z

∂x ,

∂y

, получим формулу

∂v

∂z = ∂z ∂x + ∂z ∂y .

(7.4)

∂v

∂x

∂v

∂y

∂v

Нпо каждой независимой

Таким образом, производная сложной функции (z)

переменной

равна

сумме

произведений частных производных этой

независимой(

)

(х

и y)

на

их

частные

функции (z) по ее промежуточным

переменным

производные по соответствующей

переменной (u и v).

∂z

по

Пример 7.10. Найти

∂u

∂z ,

если

z = ln

x2 + y2

x = uv,

y = u .

∂v

∂z

р∂z

∂z

∂x

∂z

∂y

Решение.

Найдем

формуле

∂u

∂x

∂y

∂u . Получим

∂u

∂z

2 y

v +

т=

xv +

uvv +

∂u

x2 + y2

+ y2

+ y

(uv)

+ v

з2 u

2v2

2 2

+1)

u v

∂z

∂x

∂z

∂y

∂z

По формуле

∂v

∂x

∂v

∂y

∂v

найдем

∂v ,

∂z

2 y

∂v

u +

−

x −

uv −

2 +

Р x

u2v2 +

−1

2(v4

−1)

u(v

v(v

+1)

296

7.Инвариантность формы полного дифференциала

Используя правило дифференцирования сложной функции, покажем, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности, то есть сохраняет

свой вид независимо от того, является ли х

и у

независимыми переменными или

являются функциями других независимых переменных.

Пусть z = f (x, y) ,

где

х и

–

независимые переменные.

полный

дифференциал функции имеет вид

Тогда

∂z dx + ∂z dy .

dz =

∂x

∂y

Пусть

теперь

z = f (x, y) ,

где

т.е

функция

x = x(u,v), y = y(u,v),

z = f (x(u,v); y(u,v))= F(u,v)

сложная ,

где

u и

v – независимые переменные .

Тогда

∂F

∂z

∂x

∂z

∂y

∂z

∂x

∂z

∂y

dz =

du +

∂u

∂v

∂u

∂v

∂u

∂x

∂v

∂x

∂u

∂y

∂y ∂v

∂z ∂x

∂x

∂z ∂y

р∂y

du +

∂v

du +

∂v

∂x ∂u

∂y ∂u

Так как

x = x(u,v),

y = y

(u,v),

то

dx =

∂x

du + ∂x dv,

dy = ∂y du + ∂y dv .

∂v

∂u

∂v

∂u

Следовательно, и в этом случае,

∂z

dz =

∂x dx + ∂y dy .

е8. Дифференцирование неявной функции

TОпределение 7.20. TФункция

z = f (x, y)

называется

неявной,

если

она

задана уравнением

F(x, y, z) = 0 .

297

TТеорема 7.5.T Существование неявной функции двух переменных: если

функция

F(x, y, z) и ее производные Fx′(x, y, z), Fy′(x, y, z),

Fz′(x, y, z)

определены и

непрерывны

некоторой

окрестности

точки

M0 (x0 , y0 , z0 ),

причем

F (x0 , y0 , z0 )= 0 ,

Fz′(x0 , y0 , z0 )≠ 0 , то

существует окрестность

точки M0 B, Bв

которой уравнение F(x, y, z) = 0

определяет единственную функцию z

= f (x, y) ,

непрерывную и дифференцируемую в окрестности точи (x0

, y0 )

и такую, что

f (x0 , y0 ) = z0 .B

Найдем частные производные

∂z

и ∂z

заданной

неявной функции z,

∂x

∂y

уравнением

F(x, y, z) = 0 , для этого,

подставив в уравнение вместо z функцию

f (x, y) , получим

тождество

F(x, y, f (x, y)) = 0 .

Следовательно,

полный

дифференциал функции F(x, y, z) , где

z = f (x, y) равен нулю. То есть

∂F

dF =

dx +

иdy +

= 0 ,

отсюда

∂x

∂y

∂z

∂F

оdz =

− ∂F

∂y

∂x

dx −

dy .

∂F

∂z

dz =

∂z

, получаем

Сравнивая полученные выражения с

∂x dx +

∂y dy

∂F

∂z

= −

∂x

∂z

= −

∂y

(7.5)

∂x

∂F

∂y

∂F

∂z

Частный случай. Неявная функция одной переменной y = f (x)

задается

Руравнением F(x, y) = 0 . В этом случае

dF =

∂F

dx +

∂F

dy = 0 , получаем

∂x

∂y

298

∂y

∂F

= −

∂x

(7.6)

∂x

∂F

∂y

Пример

7.11.

Найти

частные

производные функции z,

заданной уравнением

ez + z2 − x2 y +1 = 0 .

Решение.

Здесь

F (x, y, z)= ez + z3 − x2 y +1 = 0 ,

Fx′ = −2xy , Fy′ = −x2 ,

Fz′ = ez + 3z2 .

Тогда

∂z = −

Fx′

= −

− 2xy

2xy

z 2

∂x

Fz′

e + 3z

∂z

= −

Fy′

= −

− x2

∂y

Fz′

ez + 3z2

Пример 7.12.

dx ,

иx

y = f

(x) задана уравнением

Найти

если

неявная

функция

y3 + 2 y = 2x .

Решение. Здесь F (x, y)

′

= y

+ 2 y − 2x ,

= −2

, F

+ 2 . Следовательно,

Fx′

= −

− 2

Fy′

3y2 + 2

§3. Касательная плоскость и нормаль к поверхность

плоскостями

x = x0

, y = y0

( см. рис. 7.4).

дифференцируема в точке (x0 , y0 )

некоторой

Пусть функция

z =

f (x, y)

области

D R . Рассечем поверхность

S, изображающую функцию z,

299

lB2

lB1

zB0B(x)

zB0B(y

МB0 α

yB0

хB0

(хB0B,yB0B)

Рис. 7.4

Плоскость x = x0

пересекает

S по некоторой линии

z0 (y),

поверхность

z = f (x, y)

вместо х

уравнение которой получается подстановкой в выражение

x0 . Точка

z0 (y).

числа

(x0 , y0 ,

f (x0 ,

y0 ))

принадлежит кривой

силу

дифференцируемости

точке

МB0B функция

(y) также

является

функции

= y0 .

Следовательно,

в этой

точке

в плоскости

дифференцируемой

x = x0 B

Bк кривой z0 (y)

может быть проведена касательная l1 .

теперь

плоскостью

y = y0 .B

BПлоскость

y = y0 B

Рассечем поверхность

пересекает

некоторой

линии

z0 (x),

уравнение

которой

поверхность S по

получаетсяфункции z в точке M0

функция

z0 (x) также является дифференцируемой в точке

подстановкой в выражение

z = f (x,

вместо

числа

y0 .

Точка

M0 (x0

, y0 , f (x0 , y0 ))

принадлежит кривой

z0 (x). В

силу дифференцируемости

x = x0 B.

BСледовательно, в этой точке в плоскости

y = y0 B

Bк кривой

z0 (x)

может

быть проведена касательная l2 . Прямые l1 и

l2 определяют плоскость α , которая

называется касательной плоскостью к поверхности S в точке M0 .

300

Составим ее уравнение. Так как плоскость α проходит через точку

M0 (x0 , y0 , z0 ), то ее уравнение может быть записано в виде

A(x − x0 )+ B(y − y0 )+ C (z − z0 ) = 0 .

Преобразуем это уравнение

z − z0

(x − x0 ) −

( y − y0 )

= −

или

z − z

= A (x − x

) + B ( y − y

)

где

A = −

B = −

Найдем AB1B, BB1B.B

Уравнения касательных l1

и l2

B Bимеют вид

)

z − z

= f

′

, y

)( y − y

), x = x

Н0

(l2 )

z − z0 = fx′(x0 , y0 )(x − x0 ), y = y0 .

Касательная l1

лежит в плоскости α , следовательно, координаты всех точек

удовлетворяют

уравнению

) .

Этот

факт можно

− z

(xй− x ) + B ( y − y

записать в виде системы

= f y′(x0 , y0 )( y − y0 )

− z0

x = x

′

систему

− z0 = A1 (x − x0 ) + B1 ( y − y0 ).

Разрешая эту

относительно ВB1B, получим

0 )( y −y0 )

z − z0 = f y

(x0 , y

B1 ( y − y0 ) = f y′(x0 , y0 )( y − y0 )

x =x0

B1 = f y′(x0 , y0 )

=B1( y − y0 )

z −z0

Касательная l2

лежит в плоскости α,

следовательно, координаты всех точек

удовлетворяют уравнению

z − z0 = A1 (x − x0 ) + B1 ( y − y0 ) .

Этот факт можно

записать в виде системы

z − z0 = fx′(x0 , y0 )(x −x0 )

y =y0

−z

(x −x

) +B

( y − y

)

301

Разрешая эту систему относительно A1 , получим:

z − z0 = fx′(x0 , y0 )(x −x0 )

A1 (x − x0 ) = fx′(x0 , y0 )(x − x0 )

y =y0

A1 = fx′(x0 , y0 )

z −z

=A (x −x

)

A1 и B1 в уравнение

Подставив значения

z − z0 = A1 (x − x0 ) + B1

( y − y0 ) ,

получаем искомое уравнение касательной плоскости

z − z0 = f x′(x0 , y0 )(x − x0 ) + f y′(x0 , y0 )( y − y0 ) .

(7.7)

TОпределение 7.21.T Прямая, проходящая через точку M0 и

перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности,

называется ее нормалью.

Запишем уравнение нормали.

x − x

y − y

− z

имеет

Если

прямая

L :

перпендикулярна

плоскости

β : A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 , то

. В

место равенство

нашем

случае

x − x0

y − y0

z − z0

плоскость

прямая

условие

рm

: f

′

, y

)(x − x

) +

′

, y

)( y

− y

) − (z − z

)

= 0 .

о0 0

перпендикулярности

прямой и плоскости, получим

Используя

нормали

уравнение

x − x0

y − y0

z − z0

(7.8)

fx′(x0 , y0 )

f y′(x0 , y0 )

−1

Если поверхность S задана уравнением F (x, y, z) = 0 , то

F′(x

, y

)

Fy′(x0

, y0 )

fx′(x0

f y′(x0 , y0 )

, y0 ) = −

= −

и получим:

Fz′(x0 , y0 )

Fz′(x0

, y0 )

уравнение касательной плоскости

F′

, y

)

Fy′

(x0

, y0 )

−

− x0 ) −

( y − y0 ) − (z − z0 ) = 0 ,

или

Fz′(x0 , y0 )

Fz′

(x0 , y0 )

302

Fx′(x0 , y0 )(x − x0 ) + Fy′(x0 , y0 )( y − y0 ) + Fz′(x0 , y0 )(z − z0 ) = 0

(7.9)

Уравнение нормали

x − x0

y − y0

z − z0

или

−

Fx′(x0 , y0 )

−

Fy′(x0 , y0 )

−1

Fz′(x0 , y0 )

F′(x , y )

x − x0

y − y0

z − z0

(7.10)

Fx′(x0 , y0 )

Fy′(x0 , y0 )

Fz′(x0 , y0 )

Пример 7.13. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к параболоиду

вращения z = x2 + y2 в точке M0 (1, −1,2).

Решение. Здесь z′x

fx′(x, y)= 2x ,

z′y = f y′(x, y)= 2 y ,

f x′(1,−1)= 2 ,

f y′(1,−1)= −2 . По формулам: касательная плоскость

fx′(x0 , y0 )(x − x0 ) + f y′(x0 , y0 )( y − y0 ) − (z − z0 ) = 0 ,

получаем уравнение

2(x −1)− 2(y +1)−(z − 2)= 0 или

2x − 2 y − z − 2 = 0 касательной плоскости;

нормали

y − y0

z − z0

x − x0

fx′(x0 , y0 )

f y′(x0

, y0 )

−1

функции

y +1

= z − 2

нормали.

получаем уравнение

x −

1 =

− 2

−1

двух переменных

§4. Экстремум

1. Основные понятия

z = f (x, y)

определена

некоторой области D,

точка

Пусть функция

N (x0 , y0 ) D .

TОпределение 7.22. TТочка

(x0 , y0 ) называется точкой максимума функции

z = f (x, y) , если существует такая окрестность точки

(x0 , y0 ), что для каждой

303

точки (x, y), отличной от (x0 , y0 ), из этой окрестности выполняется неравенство

f (x, y) < f (x0 , y0 ).

TОпределение 7.23. TТочка

(x1, y1 ) называется точкой минимума функции

z = f (x, y)

если существует такая окрестность

точки

(x1, y1 ), что для каждой

точки (x, y), отличной от (x1, y1 ), из этой окрестности выполняется

неравенство

f (x, y)< f (x1, y1 ).

f (x0 , y0 )

(x, y)

f (x1, y1 )

(x0

, y0 )

(x1, y1 )

Рис. 7.5

определения

TОпределение 7.24. TМаксимум и минимум функции называют экстремумами

, точка экстремума функции лежит внутри области

функции. В силу

определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный)

(x1, y1 ) сравнивается с ее

характер, так как значение функции в точках (x0 , y0 ) и

значениями

в точках, достаточно близких к (x0 , y0 )

и (x1, y1 ). В

области D

= f (x, y) может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

функция z

304

2. Необходимые и достаточные условия экстремума

TТеорема 7.6.T

(Необходимые условия экстремума).

Если

в точке

N (x0 , y0 ) дифференцируемая функция z = f (x, y) имеет экстремум, то ее частные

производные в этой точке равны нулю:

fx′ = (x0 , y0 )= 0,

f y′ = (x0 , y0 )= 0 .

Доказательство.

Зафиксируем

у,

положим

y = y0 . Тогда

получим

функцию

f (x, y0 ) =ϕ(x)

одной переменной,

которая имеет

экстремум при

x = x0 . Тогда

из

необходимого условия

экстремума функции одной переменной следует,

то

что ϕ′(x0 )= 0 ,

есть fx′(x0 , y0 )= 0 B.B

Теперь зафиксируем х, положим x = x0 B, Bтогда получим функцию

f (x0 , y)=ψ (y) одной

переменной, которая имеет экстремум

при

y = y0 B

Bи из необходимого условия экстремума

′

Б′

функции одной переменной следует, что ψ (y0 )= 0 , то есть f y

(x0 , y0 )= 0 .

TОпределение 7.25. TТочка, в

частные производные первого порядка

функции z = f (x, y) равны нулю,

.е

f x′ = 0

которой′

f y = 0

называется стационарной

офункции.

TОпределение 7.26.точкойT Критическими точками называются стационарные точки

и точки, в

хотя бы одна частная производная не существует.

В критических точках функция z = f (x, y)

может иметь экстремум, а может

и иметь. Для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо

которых

каждую критическую точку функции дополнительно исследовать.

TТеорема 7.7. T (Достаточное условие экстремума). Пусть в

нестационарной точке (x0 , y0 ) и некоторой ее окрестности функция

f (x, y) имеет

непрерывные

частные

производные

до

второго

порядка

включительно.

Вычислим в точке (x0 , y0 ) значения

′′

C =

′′

A = f xx (x0 , y0 ) , B =

f xy (x0 , y0 ) ,

f yy (x0 , y0 ) .

305

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3531 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика