Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей

.pdf

Скачиваний:

199

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

3.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3530 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

∆z = f (x + ∆x, y + ∆y)− f (x, y).

TОпределение 7.11. TЧастной производной

функции

z = f (x, y)

точке

M (x, y)

по переменной х

называется

lim

∆x z

= lim

f (x + ∆x, y) − f (x, y)

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

Обозначается одним из символов:

z′x ; B

∂z ; B

fx′; B ∂f

∂x

0 )

Частные производные по х

в точке

(

x , y

обозначаются символами

fx′(x0 , y0 );

fx′

. B

z = f (x, y)

Определение 7.12. TЧастной

производной

функции

точке

M (x, y)

по переменной у

называется

∆y z

lim

∆y

= lim

∆y

∆y→0

Обозначается одним из символов: B

производные

z′y ;

∂z ;

f y′;

∂f .

∂y

по

в точке

(x , y

) обозначаются символами

Частные

0 0

f y′(x0 , y0 ) ,

f y′

Z = 2 y + e

x2 −y

+1.

Пример 7.4. Найти частные производные функции

Решение.

Z x'

= (2 y + ex2 −y

+1)'x = (2 y)'x

+ (ex2 −y )'x

+ (1)'x

= 0 + ex2 −y (x2

− y)'x

+ 0 =

(2x − 0) = 2xex2 −y

= ex2 −y

е'

+ e

x2 −y

+ (e

2 −y

= 2 + e

x2 −y

Z y

= (2 y

+1) y = (2 y) y

) y

+ (1) y

− y) y + 0 =

= 2 + e

x2 −y

−1) = 2 − e

−y

Пусть дана функция

z = f (x, y), график которой поверхность S (рис. 7.3).

286

Пусть точка

M0 (x0 , y0 )

из

области

определения функции

f (x, y),

точка

N0 (x0 , y0 , z0 ),

z0 (x0 , y0 )

- соответствующая

M0 точка поверхности S.

LB1

LB2

NB0

yB0

хB0

MB0

. 7.3.

Известно, что при нахождении

(x0 , y0 )

у фиксируется так, что

y = y0 .

переменная

Геометрически это означает,

что через

Рис

y = y0

параллельная

проводится плоскость

плоскости

хoz

и функция

z = f

(

xр, y есть линия

LB1

Bпересечения поверхности

0 )

плоскости

y = y . Но z = f

(x, y

)

– функция одной переменной

х в точке x = x . Исходя

точку0

из геометрического смыслатпроизводной для функции одной переменной, заключаем, что

fx' (x0 , y0 )= tgα , где α – угол между прямой, параллельной оси

Х и касательной к кривой

L1 (z = f (x, y0 ))

в точке

N0 (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).

При

fx' (x0 , y0 )

переменная х фиксируется так,

что x = x0 . Геометрически

нахождении

x = x0 параллельная плоскости

это означает, что через точку M0 проводится плоскость

yoz

LB2

Bпересечения поверхности

S и плоскости

x = x0 B. B Но

функция

z = f (x0 , y) есть линия

y = y0 .

Исходя из геометрического

z = f (x0 , y) – функция одной переменной у в точке

смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что f

x , y

= tgβ , где β

( 0 0 )

287

– угол между прямой, параллельной оси Y

и касательной

к кривой L2

(z = f (x0 , y)) в

точке N0 (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).

TОпределение 7.13.T

fx' (x0 , y0 ) = tgα

fy' (x0 , y0 )= tgβ

называются

геометрическим смыслом частных производных функции двух переменных.

2. Частные производные высших порядков

Если частные производные

∂z

функции

z = f (x, y)

в свою очередь

∂x

∂y

являются

дифференцируемыми

функциями,

то

их частные

можно находить

производные.

Так частные производные второго порядка определяются и обозначаются:

∂ ∂z

∂2 z

= Z xx

(x, y)

∂x ∂x

∂x

∂

∂z

∂

= Z xy =

fxy (x, y)

∂y

∂x∂y

∂x

∂

∂z

∂

2 z

= Z yx = f yx (x, y)

∂yо∂x ∂y∂x

∂

∂z

∂ z

= Z

(x, y)

Аналогично

∂y

определяются частные производные третьего и четвертого и т.д

порядков.

'''

∂ ∂2

∂

∂3 z

∂4 z

Так

zxxy =

2 ,

3 .

∂y ∂x

∂x ∂x ∂y ∂x ∂y

еTОпределение 7.14.T Частная производная второго или более высокого

порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной

производной.

Таковыми являются, например,

′′

′′′

xyy .

zxy ,

288

Пример 7.5. Найти частные производные второго порядка функции z = x4 − 2x2 y3 + y5 +1.

Решение. Так как

z′x

= 4x3 − 4xy3 ,

z′y

= −6x2 y2 + 5y4 ,

то

′′

− 4xy

′

=12x

− 4 y

zxx = (4x

′′

(− 6x

′

= −12x

20 y

3 B B

zyy =

′′

(4x

− 4xy

′

= −12xy

zxy =

′′

(− 6x

+ 5y

′

zyx =

)x = −12xy

′′

B B

Оказалось, что

zxy = z yx .

Этот результат не случаен. Имеет место теорема

TТеорема 7.1. T

Если функция

z = f (x, y)

имеет в точке

M (x, y)

′′

то

′′

непрерывные частные производные второго порядка fxy

fyx ,

fxy

= fyx .

дифференциал

функции

3. Дифференцируемость и полный

Пусть функция

некоторой окрестности точки

z = f

(x, y) определена

M (x, y), тогда ее полное приращение в точке M (x, y)

= f (x + ∆x, y + ∆y)− f (x, y).

∆z

TОпределение 7.15.T

Функция

z = f (x, y) называется дифференцируемой в

точке

M (x, y)

, если ее полное приращение в этой точке можно представить в

виде

∆z = A∆x + B∆y +α∆x + β∆y ,

где

пα =α (∆x, ∆y)→ 0 и

β = β (∆x,∆y)→ 0 при

∆x → 0,

∆y → 0 .

TОпределение

7.16.T

A∆x + B∆y

называют

главной

частью

приращения

функции z = f (x, y).

289

TОпределение 7.17.T

Главная

часть

приращения

функции

z = f (x, y),

линейная относительно

∆x

∆y

называется

полным дифференциалом этой

функции и обозначается

dz = A∆x + B∆y .

TОпределение 7.18.T

A∆x

B∆y называют частными дифференциалами и

обозначают dx z

dy z .

Для независимых переменных х и у

полагают ∆x = dx,

∆y = dy . Поэтому

полный дифференциал можно записать в виде

dz = Adx + Bdy .

Теорема

7.2.

(Необходимое

условие

дифференцируемости

функции). Если функция

z = f (x, y)

дифференцируема Нв точке M (x, y), то она

непрерывна в этой точке,

∂z и

∂z ,

причем

имеет в ней частные производныеБ

∂x

∂y

∂z

∂x

= A,

∂y = B .

Доказательство.

Так как функция дифференцируема в точке M

(x, y), то имеет место

Отсюда

β = β

(∆x,∆y)→ 0

равенство

∆z = A∆x + B∆y +α∆x + β∆y , где α =α (∆x, ∆y)→ 0 и

при

∆x → 0,

Положив

lim ∆z = 0 . Это

означает,

что

функция

∆y → 0 .

овытекает, что

∆x→0

точке∆ z

∂z

∆y→0

непрерывна в

М.

∆y = 0, ∆x ≠ 0 , получим

∆x z

∆z = A∆x +α∆зx . Отсюда

находим

= A +α .

Переходя

пределу

при

∆x → 0 ,

∆x

lim

= A,

т.

= A . Таким образом,

в точке

существует

частная

получим

∂x

∆x→0

∆x

производная fx′(x, y)= A. Положив

∆x = 0, ∆y ≠ 0 , получим

∆z = B∆y + β∆y . Отсюда

∆y z

= B

∆y z

∂z

+ β

lim

= B,

т =тB . Таким образом, в точке М существует

∆y

∆y→0

∂y

частная

производная

f y′(x, y)= B .

290

Отметим, что обратное утверждение не верно, т.е. из непрерывности
функции	или	существования	частных	производных	не	следует
дифференцируемость функции.
Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного
дифференциала вида
		dz = ∂z dx + ∂z dy		или
		∂x	∂y

dz = dx z + d y z ,

где

dx z = ∂z dx,

d y z =

Тz = f (x, y) .

∂z dy - частные дифференциалы функции

∂x

∂y

TТеорема 7.3.T (Достаточное условие дифференцируемости функции).

Если функция

z = f (x, y)

имеет непрерывные частные производные z′x , z′y в

точке M (x, y), то она дифференцируема в

точке и ее полный дифференциал

выражается формулой

этой

∂z

dz =

∂z

иdx + dy .

∂x

∂y

4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям

точку

дифференциала функции

z = f (x, y)

следует,

что при

Из

определения

достаточно малых

∆x

∆y имеет место приближенное равенство

∆z ≈ dz .

M0 (x0 , y0 ).

Рассмотрим

∆z = f (x0 + ∆x; y0 + ∆y)− f (x0 , y0 ) и

Так как

dz = fx′(x0 , y0 )dx + f y′(x0 , y0 )dy = fx′

∆x + f y′

M0 ∆y .

Получим

f (x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f (x0 , y0 )= fx′(x0 , y0 )∆x + fy′(x0 , y0 )∆y

или

f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (x0 , y0 ) + f x′(x0 , y0 )∆x + f y′(x0 , y0 )∆y .

(7.1)

Этой формулой пользуются в приближенныхT Tрасчетах.

291

Пример 7.6.	Вычислить приближенно 1,02 3,01.
Решение.	Рассмотрим	функцию	z = x y = f (x, y) .	Тогда

1,023,01 = (x

+ ∆x) y0 +∆y = f (x

+ ∆x, y

+ ∆y) ,

где

=1,

∆x = 0,02, y

= 3,

∆y = 0,01. Найдем

f x′(x0 , y0 )

f y′(x0 , y0 )

= (x y )′x

= yx y−1

= 3 12 = 3

f x′(x0 , y0 ) = f x′(x, y)

f y′(x0 , y0 ) = f y′(x, y)

= (x y )′y

= x y ln x

=13 ln1 = 0 .

Тогда

f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) =1,023,01 ≈13 + 3 0,02 + 0 0,01 ≈1,06 .

Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти:

границы абсолютной и относительной погрешностиНв приближенных

вычислениях, приближенное значение полного приращения функции и т.д.

5. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция

z = f (x, y)

непрерывные частные производные

второго порядка.

имеет

Полный

z = f (x, y)

dz =

∂z

дифференциал функции

∂x dx +

∂y dy

называют также дифференциалом первого порядка.

Определение 7.19.T

Дифференциалом второго порядка функции z

называют дифференциал от дифференциала первого порядка d 2 z = d (dz).

Найдем его, так как при вычислении частных производных по x и по у от

и dу

считаются постоянными, то

переменные

dх

∂z dx +

∂z dy

∂z dx

′

∂z dx

′

d 2 z = d(dz) = d

+ ∂z dy x

dx +

+ ∂z dy y dy =

∂x

∂y

∂x

∂y

∂x

∂y

Р=

∂2 z dx +

∂2 z

dx +

∂2 z

dx + ∂2 z dy dy =

∂2 z (dx)2

∂2 z

dxdy +

∂x

∂x∂y

∂y

∂x

∂x∂y

292

∂2 z

dxdy +

∂2 z (dy)2 =

∂2 z

(dx)2

+ 2

∂2 z

dxdy +

∂2 z

(dy)2 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x∂y

∂y2

Получили

d 2 z =

∂2 z (dx)2

+ 2

∂2 z

dxdy

∂2 z

(dy)2 .

∂y2

∂x2

∂x∂y

Символически это записывается так:

∂

d 2 z =

dx +

z .

∂x

∂y

Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего

порядка

∂

d 3 z = d(d 2 z) =

∂x

∂y

где

∂

z = ∂ z

(dx)3 + 3

∂ z

(dx)2 dy + 3

∂ z

dx(dy)2 +

∂ z (dy)3 .

∂ 2

∂

∂ ∂ 2

∂x

∂y

∂ 3

x y

частные

= x3 y2 .

Пример 7.7. Найти d2z, если

Решение.

производные

Найдем

∂z

= 3x

;

∂2 z

= 6xy

;

∂2 z

y ;

∂z

= 2x

y ;

∂2 z

∂x

∂x∂y

∂y

Тогда

з d

2 z = 6xy2 (dx)2 +12x2 ydxdy + 2x3 (dy)2 .

Производная сложной функции

Полная производная.

Пусть z = f (x, y)

-функция двух переменных

у, каждая из которых

является функцией независимой переменной

x = x(t ),

y = y(t ). В этом случае

функция

z = f (x(t), y(t))

является

сложной

функцией

одной

независимой

переменной t; переменные х и у

–

промежуточные переменные.

293

TТеорема 7.4.T Если z = f (x, y) - дифференцируемая в точке M (x, y) D

функция

x = x(t )

y = y(t )

дифференцируемые

функции

независимой

переменной t, то производная сложной функции z(t)= f (x(t), y(t)) вычисляется по

формуле

= ∂z

∂z

∂x

∂y

Доказательство. Дадим

независимой

переменной

t приращение ∆t.

функция

x = x(t )

получит приращение ∆x , функция

y = y(t )

∆y , функция z

получит приращение

получит приращение ∆z .

Тогда

Так как по условию теоремы функция

z = f (x, y)

дифференцируема

в точке

M (x, y), то ее полное приращение

∂z

непрерывности

β∆y ,

∆z = ∂x ∆x +

∂y

∆y +α∆x

где

α → 0,

β → 0 при ∆x → 0,

и перейдем к

∆y → 0

. Разделим выражение ∆z на ∆t

пределу

при

∆t → 0 .

Тогда

в силу

функций

x = x(t )

y = y(t )

∆x → 0

∆y → 0 .

Получим

∆z

∆y

∆x

∆y

lim

∂z

lim

∆оx ∂z

+ lim α lim

+ lim β lim

lim

т∆t ∂y

∆t

∆t→0

∆t

∂x

∆t→0

∆t→0 ∆t→0

∆t→0

То есть

= ∂z

+ ∂z

+ 0

∂x

∂y

или

∂z

+ ∂z

dy .

∂x

∂y

Пример 7.8. Найти

для функции

z = x

− y

, если

x = a cost,

y = asin t .

294

Решение. Так как

∂z

= 2x,

∂z

= −2 y,

= −a sin t,

= a cos t,

то по

∂x

∂y

формуле

∂z

∂x

∂y

получаем

= 2x(−asin t) − 2 yacost = 2a(−a cost sin t − asin t cost) = −2a2 sin t cost = −a2 sin 2t .

Частный случай.

Пусть

z = f (x, y) ,

где

y = y(x),

т.е

z = f (x, y(x)) -

сложная

функция

одной

независимой

переменной х. ИспользуяТформулу

∂z

, где роль переменной t

играет x, получим

∂y

∂x

dz =

∂z dx

∂z

Били

∂x

∂y

∂z

й.

(7.2)

∂x

∂y

формулы

полной производной.

Эта формула носит название

р2

∂z

Пример 7.9. Дано z = y

= cos

x .

Найти

∂x

= y x ln y . По формуле полной производной

Решение. Имеем

∂z

∂x

∂z

∂z dy

x−1

2 x

2 x−2

dx = ∂x

+ ∂y dx

иy ln y + xy

2cos x(−sin x) = cos

xln(cos

x) − xsin 2xcos

x .

Пусть

z = f (x, y) ,

где

x = x(u,v),

y = y(u,v).

Тогда

Общий случай.

частные

v. Ее

z = f (x(u,v); y(u,v)) - сложная функция независимых переменных u

производные

∂z

можно

найти,

используя

формулу

∂u

∂v

∂z

следующим образом.

Зафиксировав

заменяем в ней

∂y

∂x

295

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3530 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика