БНТУ / Математика / Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей

TОпределение 1.32.T

Пусть образ

f (A) равен В. Тогда говорят, что имеет

место отображение А UнаU В или f

- сюръективное отображение.

TОпределение

1.33.T

Если

f -

функция, связанная с функциональным

взаимно-однозначным отношением σ ,

то функция, связанная с σ −1 , обозначается

f −1 . В этом случае

f называется UиньективнойU функцией (отображением), а f −1

-

Uобратной функциейU.

Отметим, что иньективная функция f : A → B называется также UвложениемU.

Для иньективной функции (отображения) из равенства f (x) = f ( y)

У

следует, что

x = y (x, y A).

Т

TОпределение 1.34.T UБиективнымиU (взаимно однозначными) UотображениямиU

или UбиекциямиU

Н

и

называют отображения одновременно сюръективные

Б

инъективные. Биекция обозначается так f : A ↔ B . При этом множества А и В

называют равномощными.

й

TОпределение 1.35.T Если существует биективное отображение множества А

и

на множество N = {1,2,3,...}, то А называется Uсчетным множествомU.

Смысл основных

р, данных выше пояснен на рисунках 1.5.

a)

определений

В

т

и

А

зf (x)

f

о

x

п

Аргумент или

Образ, или значение

переменная

ефункции

Рb)

В

Отображение А в В

f (x)

А

У

х

Множество определения

Множество значений

Н

Б

c) Отображение А на В, или сюръективное отображение В (множествоТ

значений)

й

и

x

А (множество определения)

f(x)

р

о

d)

т

f −1 - обратная функция.

f – инъективная функция,

B

и

A

з

о

f

п

x

е

f(x)

-1

fP

P

Р

Инъективное отображение.

e)

решения (решений) уравнения (уравнений) того или иного типов.

В математике

часто

пользуются переменными,

которые

называются

У

индексами. Пусть f – функция, определенная на множестве I индексов. Если i I ,

то соответствующее значение функции

f (i) обозначается через

fi .

Т

TОпределение 1.37. TРассмотрим множество В, в котором функция f

принимает свои значения. Под UсемействомU элементов в В, занумерованных

посредством I, понимают отображение

f : I → B .

Б

Хотя бы семейство есть не что иное как отображение, его удобно

представлять себе в виде совокупности объектов из ВНи записывать в виде

символа {fi }i I .

функция

TОпределение

совпадает

с N или

1.38.T Если множество

индексов I

р

йназывается UпоследовательностьюU,

Z = {...,−2,1,0,1,2,...}, то соответствующая

а каждое ее значение – Uчленом последовательностиU. Если множество значений

называется

функции f является подмножеством множества действительных чисел, то

последовательность

числовой.

(n ≥1) будем понимать

TОпределениеаналогии1.39.T Под функцией n переменных

Выше было введено понятиефункции (отображения)

одной переменной

(аргумента). По

можно определить и Uфункции нескольких переменныхU.

о

п

функцию, аргументомзкоторой являются упорядоченные n-и. Другими словами,

е

z = f (x1 , x2 ,..., xn )(x1 A1 , x2 A2 ,...xn An ),

которая

ставит в

это такая функция

соответствие любой n − e (x1 , x2 ,...xn ) не более одного элемента z Z .

Р

Используя понятие отображения можно дать определение одного из

важнейших математических понятий, каковым является Uметрическое

пространствоU.

TОпределение

1.40.T

Множеством

M

называется

метрическим

пространством, если любой паре (x, y)

элементов (точек), где x, y M , поставлено

b)

ρ(x, y)= ρ(y, x) тогда и только тогда, когда x = y

(аксиома множества);

c)

ρ(x, y)+ ρ(y, z)≥ ρ(x, z) для любых x, y, z M (аксиома треугольника).

TЗамечание 1.7.T В одном и том же множестве можно вводить различные

метрики.

У

Простейшим примером метрического пространства являетсяТмножество

точек прямой,

на

которой

введено обычное понятие длины

отрезка (т.е.

Н

расстояния между точками прямой). Если А и В – две точки на данной прямой, то

функция двух переменных ρ(A, B),

играющая роль расстояния, определяется в

Б

данном случае посредством равенства ρ(A, B)=

AB

,

AB

- длина вектора AB .

й

§ 5. Алгебраические операции

и

р

На основе

отображения

можно дать строгое определение очень

важному математическому понятию, каковым является Uалгебраическая операцияU.

т

TОпределение 1.41. TРассмотрим декартово произведение X n

= X × X ×...× X

всех

n-к

понятия

= ... = An = X ).

Под

n - арной

внутренней

(x1 , x2 ,..., xn ) (A1 = A2

з

алгебраической

операцией в

X

будем

понимать функцию n

переменных,

оn

и принимающую значения только в X .

определенную в

X

пЕсли n = 2, то алгебраическая операция называется UбинарнойU. Для

е

Р

TОпределение

1.42.T

Бинарная

алгебраическая

операция

*

называется

UассоциативнойU,

если

для

любых

a, b, c M

имеет

место

равенство

a * (b * c)= (a * b)* c .

UПримерамиU

ассоциативных

операций является

сложение и

умножение

У

чисел. Но операция возведения в степень не является ассоциативной, т.к. в общем

случае (ab )c ≠ a(bc ). В частности, (23 )2 ≠ 2(32 ).

Т

TОпределение

1.43.T

Бинарная

алгебраическая

операция

*

называется

коммутативной, если для любых a, b M

a * b = b * a .

Н

Б

Пусть на множестве М заданы две бинарные внутренние алгебраические

операции * и o .

й

TОпределение 1.44.T Говорят, что операция

o

UдистрибутивнаU относительно

обратные алгебраические

. UПримерамиU таковых для операций сложения

операции

*,

если

для

любых

x, y, z M

имеют

место

равенства:

x o (y * z)= (x o y)* (x o z), (x * y)o z = (x o z)* (y o z).

Кроме

бинарных алгебраических операций в алгебре рассматриваются

операции

и умножения чисел

являются

рвычитания и деления.

Пусть

на

и

M

задана

бинарная

внутренняя

алгебраическая

множестве

операция o ,

з

т.е. любым U , r M поставлен в соответствие единственный элемент

(U o r)= b M .

Отметим,

что элемент b M может сопоставляться и другой паре

о

элементов U1 , r1 , т.е. может быть (U1 o r1 )= b . Можно поставить такую задачу: найти

все такие U , r M ,

для

которых

U o r = b , где b

- некоторый

фиксированный

элемент

из

M . Данная задача сводится к решению уравнений следующих двух

типовп: a o x = b, y o a = b,

где

x, y - неизвестные

элементы из M , а a,b -

произвольные фиксированные элементы из M . Если указанные уравнения имеют

единственные решения для любых a,b M , то можно любой паре (a,b) M × M

Рпоставить в соответствие однозначно определенные элементы

x, y M . В этом

TЗамечание 1.8. TЕсли исходная алгебраическая операция коммуникативна, то

обе обратные операции совпадают друг с другом.

У

Отметим еще, что в алгебре используется также и внешние алгебраические

операции, их примером является операция умножения вектора на число.

Т

§ 6. Основные понятия исчисления высказываний.

Н

Сформулируем теперь простейшие понятияисчисления высказываний.

й

TОпределение 1.45.T В логике под высказыванием понимают осмысленное ут-

вердительное предложение, т. е. повествовательноеБпредложение, о котором в

рамках определённого контекста можно

, что оно истинно или ложно.

Высказывание является

термином

логики, а предложение - чисто лин-

о

гвистическое понятие. Приведём несколькоговоритьпримеров высказываний и пред-

Аист

ложений, которые не являются высказываниями. Высказываниями будут

следующие утверждения: «

- насекомое»; «Фалес - философ»; «Пётр и Виктор

- братья».

Предложения:

«Сколько стоит автомобиль?», «Идите сюда!» - не

з

являются высказываниями.

пока

В исчисленииивысказывании можно расчленять высказывания только до

тех

пор

их составляющие также будут высказываниями. Это ограничивает

,

е

произвол в выборе расчленения сложных высказываний, которые могут состоять

из совокупности простых высказываний (они не подлежат дальнейшему

Р

Будем обозначать высказывания прописными буквами.

TОпределение 1.46.T Под высказыванием

будем понимать высказывание

A

"неA " т.е. отрицание А.

TОпределение 1.47.T Высказывание А/\В, полученное из высказываний А и В с

У

помощью связки "и", называется конъюнкцией этих высказываний (символ -

заменитель "и").

Т

TОпределение 1.48.TВысказывание A B, образованное из двух высказываний

Н

А, В посредством связки "или" ( имеет смысл "или"), называется дизъюнкцией

Б

этих предложений. Связка "или" здесь употребляется не в разделительном

смысле (либо - либо).

й

TОпределение 1.49.T Высказывание «

А,

то В» называется импликацией,

если

причём А - посылка, а В - следствие. Такое высказывание символически за-

писывается в виде A B .

р

TОпределение 1.50.T Высказывание "А тогда и только тогда, когда В" называет-

о

ся эквиваленцией (двойнойимпликацией) и обозначается А<=> B .

т

В исчислении высказываний при использовании символической записи

и

используется ряд условных соглашений, вводящих субординацию для выполнения

з

действий с использованием знаков -, , , , . Очередь выполнения

логическихоопераций в сложных высказываниях производится в порядке

написанных выше символов, если нет скобок.

п

Обратимся теперь к истинностным значениям высказываний, построенных с

следования

,

,

, . Для краткости "истинность" и ложность"

использованием связок -,

будет обозначаться буквами

T

и F . Истинностный смысл, который придаётся

Р

Таблица 1.1.

Отрицание

Конъюнкция

Дизъюнкция

Импликация

Эквиваленция

P

P

P

Q

P Q

P

Q

P Q

P

Q

P Q

P

Q

P Q

T

F

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

F

T

T

F

F

T

F

T

T

F

F

T

У

F F

F

T

F

F

T

T

F

T

T

F

T F

F

F

F

F

F

F

F

F

T

Т

F F T

Эти таблицы являются

по

сути

определениями, естественным образом

Б

согласованными с пониманием смысла сентенциональных связок.

Рассмотрим непустое множество осмысленных предложенийН. Расширим это

й

множество с помощью присоединения к нему всех предложений, которые можно

образовать,

используя

многократно

и

способами

различные

всевозможными

связки. Элементами такого расширенного множества будем называть формулами.

Элементы исходного

множества

называются простыми или элементарными

о

формулами, а остальные –

составными формулами. Простые формулы,

формально формулу B называютсяв виде B = f (B1, B2

,..., Bn ), причем под f следует понимать

входящие в составную,

рее простыми компонентами.

и

B1, B2 ,..., Bn . Запишем

Пусть простыми компонентами формулы B

служат

з

о

правило, в соответствии с которым образуется формула B на основе компонент

представить

B1

, B2 ,..., Bn

и сентенциональных связок.

Истинные значения формулы B можно

в виде таблицы из 2P

n

строк, каждая из которых изображает одно из

P

возможных распределений T и F , приписываемых компонентам B1, B2 ,..., Bn . Эта

Р

таблица имеет следующий вид:

е

Таблица 1.2.

B1