Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей

.pdf

Скачиваний:

200

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

3.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3529 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

xB1B<xB0B<xB2

y = f (x)B

yˆ2	B	У
y0 B
yˆ1 B

xB1

xB0

xB2

Рис. 6.22

Уравнение касательной в точке x0 :

yˆ − y0 = y0′ (x − x0 ), где yˆ - ордината касательной.

В точке с абсциссой

x = x1

yˆ1 − y0 = y0′ (x1 − x0 ) Н

(6.29)

По теореме Лагранжа на отрезке [x, x0 ]

f (x1 )− f (x0 ) = f ′(c1 )(x1 − x0 ),

x1 < c1

< x0

= f ′(c1 )(x1 − x0 )

− y0

(6.30)

Из (6.29) вычтем (6.30):

то

или

− y1 = ( f ′

(x0 )− f ′(c1 ))(x1 − x0 )

yˆ1

(6.31)

> 0 ,

f ′(x)- возрастающая функция:

Т. к. по условию теоремы

f ′′(x)

c1 < x0 1-ая скобка в (6.31) положительна,

ординаты

yˆ1 − y1 < 0 , т.е. ордината

x1 < x0

2-я

скобка отрицательна,

следовательно,

касательной

точки кривой с той же абсциссой, т.е. слева от точки (x0 , y0 )

меньше

кривая – над

касательной. Совершенно аналогично – справа от точки (x0 , y0 ):

yˆ2 − y0 = y0′ (x2 − x0 )

(6.29')

y2 − y0

= f ′(c2 )(x2 − x0 ),

x0 < c2 < x2

(6.30')

(а’) - (в’):

yˆ2 − y2 = ( f ′(x0 )− f ′(c2 ))(x2 − x0 )

yˆ2 − y2 < 0,

yˆ2 < y2

- и справа кривая над касательной, таким образом, в окрестности точки x0 кривая вогнута.

Вторая

часть

теоремы:

f ′′(x)< 0

выпуклость графика

вверх -

доказывается

абсолютно аналогично.

276

Следствие (необходимые условия перегиба): точки перегиба следует искать среди точек,

в которых f ′′(x) = 0 , либо ∞, либо не существует. Такие точки называются критическими точками 2-го рода.

Замечание 6.15. Необходимые условия не являются достаточными для

точки перегиба: впереди был рассмотрен пример:		У
точки перегиба: впереди был рассмотрен пример:
y = ex + e−x − x2 в точке x0	= 0, y′(0) = y′′(0) = 0 , но там минимум, а не перегиб.
		Т

TТеорема 6.9. T(Достаточные условия существования точки перегиба.)

Если при переходе через критическую точку 2-го рода вторая производная меняет

знак, то в этой точке кривая имеет перегиб, если смены знака нет, нет и перегиба.

Пример 6.26.

y = 3

x + 2 .

−

Решение. y′

3 (x

+ 2)

3 ,

y′′ = −

9 3 (x + 2)5

y′′ ≠ 0, x R, y′′(−2)= ∞.

′′

Следовательно

x0 = −2 критическая точка 2-го рода.

y′′(x < −2)> 0

- слева кривая вогнута,

y (x > −2)< 0

- справа выпукла

(−2,0) - точка перегиба.

-2

Асимптоты

Рис. 6.23

графика функции

TОпределение 6.6.T Если расстояние δ от точки кривой до некоторой прямой

по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то такая прямая называется асимптотой данной кривой.

277

y	y

y = f (x)

Рис. 6.25

Рис. 6.24

Рассмотрим случай наличия у

правойасимптотасимптоты:

Рис. 6.26

а) Нахождение невертикальных

y = kx

кривой

y=kx+b

)

(

= f

Рис. 6.27

limδ = 0, ϕ = const ≠

y − yac =

cosϕ

x→+∞

При δ → 0

lim

(y − yac )= lim (f (x)− kx − b)= 0

(6.32)

x→+∞

f (x)

Если разделить на

x : lim

− k −

= 0 .

→+∞

278

Следовательно

lim

f (x)

= k

(6.33)

x→+∞

Из (6.32):

lim (f (x)− kx)= b

(6.34)

x→+∞

Замечание 6.16. Если у кривой

y = f (x) существует левая асимптота, то

формулы для нахождения коэффициентов:

k = lim

f (x)

(6.33')

x→−∞

b = lim( f (x)− kx)

(6.34')

x→−∞

Замечание 6.17. Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной:

k = 0, y = b, b = lim

f (x)

x→+∞

( x→−∞)

y = b

y = f (x)

Рис. 6.28

279

б) Нахождение вертикальных асимптот x = x0

xB0

Рис. 6.29

Если

при

x → x0 точка

кривой

y = f (x)

при неограниченном удалении

близко приближается к прямой:

вверх или вниз одновременно сколь угодно

x = x0

lim f (x) = ∞, то x = x0

- вертикальная асимптота данной кривой.

x→x0 ±0

Очевидно

Замечание 6.18 .

точка разрыва 2-го рода, следовательно,

график непрерывной функции не имеет вертикальных асимптот.

Пример 6.27. y = xln e

Решение.

limxln

x = −

- вертикальная асимптота.

e +

= ∞

x→− 1

xln e

оx

k = lim

= ln e =1

x→∞

−1

ln e +

b =

lim

xln e +

− x (∞ −∞)

lim

x→∞

−

e +

lim =

= 1

y = x +

- наклонная асимптота.

x→∞

−

280

План полного исследования функции для построения графика

D(y).

Четность, периодичность, интервалы знакопостоянства.

Непрерывность, точки разрыва, вертикальные асимптоты.

Интервалы монотонности, экстремум.

Интервалы выпуклости, точки перегиба.

Асимптоты.

Для уточнения графика: точки пересечения с осями координатУ, поведение

функции на концах

D(y).

281

РАЗДЕЛ 7. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§1. Функции двух переменных

1. Основные понятия

TОпределение 7.1. TСоответствие f,

которое каждой паре чисел (x; y) D

сопоставляет одно и

только

одно

число z R ,

называется функцией двух

переменных, определенной на множестве D со значениями в R, и записывается

z = f (x, y), где x

и y – аргументы,

– функция.

TОпределение 7.2. TМножество D = D( f )

называется областью определения

функции, а множество значений,

называется областью

изменения функции и обозначается E ( f ).

Пример 7.1.

Для

функции

z =

1 − x2

− y2

областью определения

является круг

принимаемых

x2 + y2 ≤1, а областью значений

[0,1]. Функция изображается верхней полусферой с

центром в точке О (0,0,0)

радиусом R = 1 (рис. 7.1)

отрезок

Геометрически

z = f

(x, y) представляет собой

некоторую

поверхность и

как

функция одной

переменной

может

быть

задана таблицей,

аналитически, графиком.

Рис. 7.1

282

2. Предел функции

TОпределение 7.3. TМножество точек M (x, y) плоскости,

координаты

которых удовлетворяют неравенству (x − x0 )2 + ( y − y0 )2

<δ , называется

δ –

окрестностью точки M0 (x0 , y0 ).

Другими словами, δ - окрестность M0

– это все внутренние точки круга с

центром

и радиусом

δ (см. рис. 7.2)

B δ B

Рис. 7.2

MB0

некоторой

рА называется

пределом

функции

z = f (x, y),

TОпределение 7.4.

определенной

Числоокрестности

точки

M0 (x0 , y0 ),

при

x → x0 ,

y → y0

(x, y)→ M0 (x0 , y0 )), если для любого ε > 0 существует δ >0

что

x ≠ x0 ,

y ≠ y0

такое,

дляивсех

удовлетворяющих

неравенству

Записывают

A = lim f

(x, y)

или

A =

lim f (x, y)

(x − x0 )2 + ( y − y0 )2

<δ

выполняется неравенство

f (x, y)− A

<ε .

x → x0

M → M0

y → y0

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от

пути, по которому M → M0 .

283

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в

следующем. Каково бы ни было число

ε > 0 ,

найдется δ -

окрестность точки

M0 (x0 , y0 ), что во всех ее точках

M (x, y),

отличных от

M0 , аппликаты

соответствующих точек

поверхности

z = f (x, y)

отличаются

от числа

А по

модулю меньше, чем ε.

Пример 7.2. Выяснить, имеет ли функция

f (x, y) =

предел в точке O(

0,0).

x2 + y2

Решение. Пусть сначала точка M (x, y)→O(

0,0) по оси Х,

т.е. M = (x,0). Тогда

lim

= lim

x 0

= 0 .

+ y2

+ 0

( x,0)→(0,0)

x→0

Аналогично при стремлении т. M → 0 вдоль оси Y

(

M =

(

0, y

))

имеем

0 yБ

lim

= lim

0 .

+ y2

0 + y

(0, y)→(0,0)

y→0

Пусть теперь точка M → 0 вдоль

y = kxй, т.е M = (x, kx),

k ≠ 0 . Тогда

иxkx

x2k

lim

= lim

+ y2

x2 + k

2 x2

1 + k 2

( x,kx)→(0,0)

x→0

x→0 x2 (1 + k 2 )

Таким образом, при

прямой

точки

(x, y)→(0,0) вдоль разных лучей получаются

разные пределы. Следовательно, искомая функция в точке О предела не имеет.

стремлении

3. Непрерывность

двух переменных

функции

z = f (x, y)

TОпределение 7.5. TФункция

называется непрерывной в точке

(x0 , y0 ), если она:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности;

lim f (M );

б) имеет предел

M → M0

в) этот предел равен значению функции z в точке M0 ,

т.е.

284

lim f (M ) = f (M0 )	или	lim f (x, y) = f (x0 , y0 ) B
M →M0		x→x0
		y→y0
TОпределение	7.6. TФункция	непрерывная в каждой точке некоторой

области, называется непрерывной в этой области.

TОпределение 7.7. TТочки, в которых непрерывность нарушается, называются

точками разрыва, которые могут образовывать линии разрыва.

Пример 7.3. Так функция z =

имеет линию разрыва y = 2x .

−

§ 2. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных

1. Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование

Пусть

задана

функция z = f (x, y)

. Так как

и у –

независимые

переменные, то одна из них может

, а другая сохранять свое значение.

Дадим независимой

переменной

изменятсях приращение

∆х,

сохраняя

значение у

неизменным.

TОпределение 7.8. TПриращение, которое при этом получит z называется

частным приращением z

по х и обозначается ∆x z .

Итак,

∆x z = f

(x + ∆x, y)− f (x, y).

Дадим

неизменным.

переменной

приращение ∆у, сохраняя значение х

TОпределение 7.9. TПриращение, которое при этом получит z называется

по у и обозначается ∆y z .

частным приращением z

еИтак,

∆y z = f

(x, y + ∆y)− f (x, y).

TОпределение

7.10. TПолным

приращением

∆z

функции

z = f (x, y)

называется равенство

285

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3529 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика