БНТУ / Математика / Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей

Рассмотрим функцию

y = 3

x ;

она

определена и

непрерывна

x R .

Найдем

производную этой функции

У

3

x + ∆x − 3 x

x + ∆x − x

f '(x) = lim

= lim

=

2

3

2

∆x→0

∆x

∆x→0 ∆x(3 (x + ∆x) + 3 x(x + ∆x) +

Т

x

)

= lim

1

=

1

.

Н

33

∆x→0 3 (x + ∆x)2 + 3 x(x + ∆x) + 3 x2

x2

Б

х = 0.

й

§ 6. Основные правила дифференцирования

Пусть функции

u (x) и v(x)

и

дифференцируемы x (a,b).

Рассмотрим

1. Производная алгебраической суммы

т

значению

функцию

y = u (x)+ v(x).

Дадим

Доказательство.

з

х

приращение

∆х,

тогда

функции u (x)

и

фиксированному

определению

∆u и

∆v , и функция

у

v(x)получают приращения, соответственно равные

п

∆y

= ∆u + ∆v .

получает приращение

По

е

y'= lim

∆x = lim

= lim

∆u + lim

∆v

∆x

∆x→0

∆y

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

Т.к. функции u (x) и v

(x)

дифференцируемые, то

Р

lim

∆u

= u′,

lim

∆v = v' .

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

y

′

′

′

′

(6.6)

= (u + v) = u

+ v

2. TПроизводная произведения двух дифференцируемых функцийT

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна

сумме

произведений

производной

первого

сомножителя

на

второй

и

У

производной второго сомножителя на первый, т.е. если y = uv , то y

′

′

′

= u v + v u .

Т

Доказательство. Пусть y = u (x)v(x). Если х получает приращение

∆x

,

то функции

y, u,

v

получают приращения

соответственно

∆y, ∆u, ∆v .

При этом

∆y = (u + ∆u)(v + ∆v)−uv = v∆u + u∆v + ∆u∆v .

Н

lim

∆y

= vlim

∆u

+ u lim

∆v

+ lim

∆u lim∆v .

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

∆v ∆x→0

Учитывая, что

й

lim

∆y

= y',

lim

∆u

= u

',

lim

∆v = v',

Б∆v = 0

lim

∆x→0 ∆x

∆x→0 ∆x

(и)

∆x→0

∆x→0

∆x

р

(так как функция v = v(x) непрерывна), окончательно получим:

конечного

′

y

′

=

uv

′

′

(6.7)

т

Правило дифференцирования произведения двух функций распространяется

произведения

числа функций. Так, например,

на произведение любого

з

′

′

′

′

′

y = (uvw)

= u vw + uv w + uvw ,

произведений

нескольких дифференцируемых функций равна

т.е. производная

сумме

производной каждой из них на все остальные.

п

v = c

(c −const ), то

В частности, если

е

′

′

+ cu

′

′

,

(6.8)

Р

(cu)

= c u

= cu

′

= 0 . Отсюда следует,

что постоянный множитель можно выносить за

так как c

знак производной.

3. Производная частного функций

Производная дроби (частного двух дифференцируемых функций) равна

дроби, у которой знаменатель равен квадрату знаменателя данной дроби, а

числитель

равен разности

между

произведением производной

числителя

на

y = u

, где v ≠ 0 , то

v

y'= u'v − uv' .

v

2

У

Доказательство. Пусть u = u (x) и v = v(x)

– дифференцируемые функции, v(x)≠ 0 .

Дадим фиксированному значению аргумента х приращение ∆x , и найдем приращение функции

у:

Т

u + ∆u u v∆u − u∆v

∆y = v + ∆v − v

= v(v + ∆v) .

Тогда

Б

Н∆v

∆u

∆v

∆u

∆y

v ∆x − u

й

∆x

− u lim∆x→0 ∆x

lim

∆x

= lim

=

.

∆x→0

∆x→0 v(v + ∆v)

v lim (v + ∆v)

∆x→0

Следовательно,

тогда

=

u ′

=

u 'v −uv'

(6.9)

y '

2

и

v

т

v

р

4. Производная сложной функции

и

(x),

у

является сложной функцией независимой

Пусть y = f (u), u = u

переменной

з

x,

u – промежуточная функция. При этом известна производная

о

х

и производная

функции

f (u) в

точке

u ,

функции

u

(x)

в точке

п

соответствующей точке х.

приращению

y′ = fu′(u)u′(x).

Тогда

Доказательство. Дадим фиксированному значению аргумента х приращение ∆x . Этому

соответствует

приращение

∆u

функции

u (x)

и приращение

∆y функции

y = f

(u). Составим отношение

Р

∆y

=

∆f

∆u .

∆x

∆u

∆x

При

∆x → 0 приращения

∆u ,

∆f

стремятся к

нулю.

Так как

u (x),

f (u)

дифференцируемые функции, то

lim

∆u

= u′(x),

lim

∆f = fu′(u) .

∆x→0

∆x

∆x→0

∆u

Следовательно, если y = f (u(x)) , то

y ' = fu′(u)u′(x)

(6.10)

У

Итак, производная сложной функции равна произведению производной

этой функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного

аргумента по x.

Т

5. Производная обратной функции

Н

Пусть функция y = f (x) монотонна на отрезке [a,b]. Функции y = f (x) и

Б

x =ϕ( y) - взаимно обратные дифференцируемые функции и y′x

≠ 0. Тогда

x′y =

1

.

y′x

∆x

1

и′

∆x =

1

Доказательство. Так как

=

∆y

lim

∆y

. Откуда следует

∆y

∆y→0

∆y

∆x

йlim∆x→0 ∆x

р

1

т

xy

=

y′x

,

(6.11)

т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной

функции.

и

о

з

о

п

е

1. Производная логарифмической функции

Р

Пусть

y = loga x , где

a > 0,

a ≠1.

Дадим

фиксированному значению

x D( y) приращение ∆x , тогда

∆y = loga (x + ∆x)− loga x = loga

x + ∆x

∆x

= loga 1+

.

x

+

∆x

x

loga

1

∆y

x

1

∆x ∆x

1

1

y ' = lim

= lim

=

loga lim 1

+

=

loga e =

.

∆x

∆x

x

x

xln a

∆x→0

∆x→0

∆x→0

x

Итак,

y = loga x

y'= 1 loga e =

1

.

У

xln a

x

Для сложной функции y = loga u(x)

y'=

1

loga e u'(x) =

1

u'(x) .

u(x)

u(x)ln a

Т

В частном случае при

a = e

y = ln u(x) y'=

1

u'(x) .

Н

u(x)