БНТУ / Математика / Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей

характеристики

функций. Пусть

D( f ) —

область

определения

функции

y = f (x).

TОпределение 5.3. T

Функция y = f (x) называется чётной (нечётной), если

выполняются следующие условия:

У

Т

1.

Область её определения симметрична относительно точки x = 0 , т.е. для любой

точки x D( f ) существует точка (− x) D( f );

Н

2.

Для любого x D( f ); выполняется равенство

= − f (x)).

f (−x) = f (x)

(f

(−x)

Б

Используя символы математической логики, свойство чётности или

нечетности функции можно записать так:

й

f (x)

- чётная функция x D( f ) : (

−x D( f ) ∩ f (−x) = f (x));

f (x)

и

= − f (x));

- нечётная функция x D( f ) :

(−x D( f ) ∩ f (−x)

Если хотя бы одно из

р

определения не выполняется, то функция не

является ни чётной

.

условий

Примеры 5.2.

Функциинечётнойf (x) = x2 ,

f (x) =

x

, f (x) = cos x

- чётные;

функции

f (x) = x ,

f (x) = sinниx , f (x) = 1 - нечётные;

функции f (x)= x2

+ x +1, f (x) = ln x ,

з

x

x2

+ x

f (x)=

sin x

не являются ни чётными, ни нечётными.

xо+1

По определению ось ОY является осью симметрии графика чётной функции, а

п

начало координат - центром симметрии графика нечётной функции. При

е

Р

существует такое число T ≠ 0 , что выполняются условия:

1. При любом x из области определения функции числа

x −T

и

x +T также

принадлежат области определения;

У

2. f (x) = f (x − T ) = f (x + T ).

Или:

f (x) - периодическая функция

T ≠ 0 : x D( f ) : (x ±T ) D( f ) ∩ f (x ±T ) = f (x).

Т

Число T ≠ 0 ,

прибавление которого к аргументу или вычитание из него не

меняет значение функции f (x),

называется периодом функции,

при этом число

Н

nT , n N также является периодом этой функции. Если существует наименьший

положительный период функции, то его называютБосновным периодом. Для

периодической функции достаточно

её

исследование

и построить

й

график на одном из интервалов длиной Т, а затем произвести параллельный

перенос его вдоль оси ОХ на

± nT , nпровестиN .

Примеры 5.3.

Функции

f (x) = sin x ,

f (x) = cos x , f (x) = tgx

периодические на

р

своих естественных областях

соответственно с периодами 2π,2π,π .

определения

Т, то функция f (ω x) также

Следует заметить, что если

f (x) периодическая с периодом

т

периодическая и её

равен

T

. Функцию

f (x) = c

(с=const),

D( f ) = R можно также

период

ω

отнести к периодическим, где

любое

число

Т

является периодом,

но основного периода

з

функция не имеет.

о

называется возрастающей (убывающей)

TОпределение 5.5.T Функция y = f (x)

п

х

из этого множества

на множестве Х, если большему значению аргумента

соответствует большее (меньшее) значение функции у.

е

Р

TОпределение

5.6.T

Функция

y = f (x)

называется

неубывающей

f (z).

Предположение, что значения функции ϕ(x)

не выходят за пределы того

множества

Z, на

котором

определена

функция

f (z), весьма существенно,

У

например,

если

y = ln z ,

z = sin x ,

то

для

функции

y = ln (sin x)следует

рассматривать лишь такие значения x,

Т

для которых sin x > 0 , иначе выражение

ln

(

sin x

)

не имеет смысла, а для функции y = sin

(

ln x

)

должно быть x > 0 .

Н

Пусть функция y = f (x)

Б

значений.

Выберем

y = y0 Y ,

тогда в X необходимо найдется такое значение

x = x0 ,

при котором f (x0 )= y0 ,

й

подобных значений может оказаться и

несколько. Таким образом,

значениюy из Y ставится в соответствие одно

или несколько значений x,

определяется на множестве Y соответственно

причем

однозначная или многозначная функция

x =ϕ(y), которая и называется обратной

для функции y = f (x).

каждому

этим

Приведем

5.6.

Пусть y = ax ,

a >1,

D(y) = X = (−∞;∞).Значения y

примеры

заполняют

Y

= (0;

∞), причем каждому y из этого промежутка отвечает в X одно

з

x = log

a

y . Полученная обратная функция однозначная.

Для функции y = x2 ,

промежуток

определенной

при всех x, обратная функция будет двузначной: каждому значению

отвечает два значении x = ±

y

из

X.

Вместо этой двузначной функции

y Y =

(

0;∞)

определенное

x = + y

и x = − y (“ветви”

обычно рассматривают раздельно две однозначные функции

двузначной функции).

Для функции

y = sin x

в силу ее периодичности обратная функция

Р

и рассматривают обратную функцию в виде

y =ϕ(x)

( y = f −1 (x)). Такая

перестановка переменных в прямоугольной декартовой системе координат ОХY

соответствует

перестановке

осей

координат,

другими

словами

повороту

плоскости графика на 180P

о

вокруг

биссектрисы

первого

координатного угла.

P

Таким образом, график обратной функции

y = f −1 (x)

получается как зеркальное

отражение графика y = f (x)

относительно этой биссектрисы, т.е. графики прямой

и

обратной

функций

y = f (x)

и

y = f −1 (x)

симметричны

относительно

У

биссектрисы первого координатного угла прямой y = x .

Т

Общее правило нахождения обратной функции для взаимно однозначной

функции y = f (x) можно

сформулировать

так:

решить

уравнение

y = f (x)

Н

относительно x, найти x = f −1 (y), поменять обозначения переменных x на y, y на

−1 (x), обратную к

Б

x и получить функцию y = f

.

Подобно

функциям

данной

и

ограниченные

монотонные

последовательности.

и

T

Определение 5.11.T

Последовательность

(xn )

называется

возрастающей

определим

(убывающей), если

о

x1

< x2

<... < xn < xn+1 <...

т

и

(x1 > x2 >... > xn > xn+1 >...),

соответствует

т.е. если для любых натуральных nB1B, nB2B большему номеру n2 > n1

з

(меньшее) значение элемента последовательности xn2 > xn1 (xn2 < xn1 ).

о

(xn )

TОпределение 5.12.T Последовательность

называется

неубывающей

п

(невозрастающей), если

большее

x1 ≤ x2 ≤... ≤ xn ≤ xn+1 ≤...

Р