БНТУ / Математика / Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей

следовательно

x = x′cosϕ − y′sinϕ.

Аналогично

′

′

sinϕ

x = x cosϕ

− y

(4.23)

′

′

cosϕ

y = x sinϕ

+ y

У

Разрешив равенство (4.23) относительно х' и у', получим формулы:

′

Т

x = xcosϕ + ysinϕ

(4.24)

y′ = −xsinϕ + y cosϕ

называть формулами поворота осей.

Б

Эллипс, гипербола и парабола с осями,

осям координат

й

Рассмотрим эллипс с

параллельными

в точке

О'( a;b), оси которого параллельны осям

координат (рис. 4.23).

р

y

y′

центром

Возьмём новую систему координат,

т

начало

которой находится в

точке

О'(α, β ),

а

оси

О'х' и

О'у'

параллельны

и

x′

соответственно осям Ох и Оу и одинаково

0

′

з

с ними направлены.

о

0

x

Так

как

новые

оси

координат

совпадают с осями эллипса,

а его центр

п

Рис. 4.23

находится

в

новом

начале,

то

е

Р

2

2

x′

+

y′

=1.

2

2

a

b

Подставляя в уравнение эллипса вместо х'

и

Т

у' их выражения через х

и у, получим

(x −α)2

+

(y − β)2

=

1

Н

(4.25)

a2

b2

У

Б

с осями симметрии, параллельными осям координат, имеет вид:

(x −α)

2

− (y − β)

2

=1,

(4.26)

a2

й

b2

и

если действительная ось параллельна оси Ох,

(y − β)2

−

(x −

α)2

=1,

(4.27)

о

b

2

a

2

если действительная ось параллельна оси Оу.

если ось симметрии параллельнаточкеоси Оу, и

Парабола с вершиной в

рО'(α; β ) имеет уравнение:

и

y − β

= a(x −α)2 ,

(4.28)

з

о

x −α = a(y − β)2 ,

(4.29)

если ось симметрии параллельна оси Ох, где

a = ±

1

2 p .

члены

п, то получится уравнение вида:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 ,

которое является частным случаем общего уравнения:

Р

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,

произведением (X Y )

У

Рассмотрим уравнение

Т

Н

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 .

(4.30)

Б

Возможны следующие случаи:

1.

АС > 0 (эллиптический случай).

Без ограничения общности можно считать, что А > 0 и С > 0.

а также y2

и у, получим

о

й

(

0 )

1

(

0 )

2

2

A x − x

и+C y − y

= F

(4.31)

Если

т

р

(x − x

0

)2

+

(y − y

0

)2

=1, где

F > 0 , то уравнение приводится к виду

1

и

a2

b2

2

F1

2

F1

a =

;

b

з

A

C

о

Если

F1

<

0 , то уравнению (4.31) никакие действительные значения х и у не

п

Если

F = 0 , то уравнение (4.31) принимает вид

A(x − x

0

)2 + C(y − y

0

)2 = 0 и

1

определяет точку M (x0 , y0 ).

Р

2.

AC < 0

(гиперболический тип).

Не

Если F > 0 ,то уравнение (4.31) можно записать

(x − x

0

)2

−

(y − y

0

)2

=1. Оно

1

a2

b2

определяет гиперболу, действительная ось которой параллельна оси Ох.

У

Если F < 0 ,

то получим гиперболу

(y − y

0

)2

(x − x

0

)2

−

=1, действительная

1

b

2

a2

ось которой параллельна оси Оу.

Н

Если F1 = 0 , то уравнение (4.31) принимает вид

Т

A(x − x0 )2 + C(y − y0 )2 = 0 .

Б

Докажем, что ему соответствует пара пересекающихся прямых.

Обозначим

A = m2 , C = −n2

й

и запишем уравнение в виде:

m

2

(x

2

− n

2

2

= 0 ,

− x0 )

(y − y0 )

или

и

р0

0

− y0 ))= 0 .

(m(x − x0 )− n(y

− y0 ))(m(x − x0 )+ n(y

о

Это уравнение равносильно следующим двум:

т

)= 0

и

m(x − x )− n(y − y

m(x

− x0 )+ n(y − y0 )= 0 ,

з

каждое из которых определяет прямую, проходящую через точку M (x0 , y0 ).

3.

о

2

АС = 0 (параболический тип).

Предположим, что А≠ 0, С = 0, тогда уравнение (4.30) имеет вид

и х дополногоквадрата, получим

= 0 .

Ax2 + Dx + Ey + F

Р

е

A(x − x0 )2 + Ey = F1 .

Если Е≠ 0, то уравнение можно записать в виде

y − y0 = a(x − x0 )2 ,

которому

Если Е = 0, F1 > 0 , то уравнение

A(x − x0 )2 = F1 равносильно уравнениям

A(x − x0 )+

F1 = 0 и

A(x − x0 )−

F1 = 0 , которые определяют пару параллельных

прямых.

Если Е

=

0 и

F1 < 0 ,

то

уравнение

A(x − x0 )2 = F1

определяет

пустое

множество.

Т

Если E = 0 и F1 = 0 , то уравнение A(x − x0 )2 = 0 определяет пару совпадающихУ

прямых x − x0

= 0 .

Б

Если предположить, что А = 0, С ≠ 0, то повторив аналогично исследования,

получим те же результаты.

Н

Итак, уравнению (4.30)

й

или

гипербола, парабола, пара прямых, точка

пустое множество.

содержащие x2

и х, а также

y2 и уопределяетполных квадратов, получим:

Пример 4.3.

Рассмотрим уравнение

9x2 + 4 y2 −18x + 24 y + 9 = 0 .

Т.к. AC = 36 > 0 ,

до( )

(

)

эллиптического

типа. Дополнив

члены,

то уравнение

фигуру

т

и

2 + 4

y + 3 2 = 36 , или

з

9 x −1

2

(y +

2

точке

(x −1)

+

3)

=1.

4

9

п

О'(1;-3), а полуоси равны соотаетственно 2 и 3.

находится в

е

§7. Поверхности второго порядка

Р

Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность,

Ax2 + By2 +Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Mx + 2Ny + 2Pz + L = 0

(4.32)

нулю.

В

общем

случае

может

оказаться, что уравнение (4.32)

определяет

У

Т

Н

рассматриваемым поверхностям.

Б

Эллипсоид

некоторой

Поверхность, уравнение которой в

декартовой прямоугольной

системе координат имеет вид

р

y2

z

о

x

2

+

+

2

=1

2

2

c

2

т

иa b

(4.33)

называется эллипсоидом.

и

о

z

уравнений:

xз2 y2 z2

+

+

=1

a2

b2

c2

е

b

y

z = h

пВ плоскости z = h возьмем декартову

прямоугольную систему координат О'х'у',

начало

которой

находится

в

точке

a

c