Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей

.pdf

Скачиваний:

199

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

3.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1) имеет модуль, равный c = ab sinϕ , где ϕ - угол между векторами a и b ,

2)перпендикулярен к плоскости векторов a и b ,

3)направлен так, чтобы тройка векторов (a,b,c) была правой.

Обозначим символом

a b = c

или a,b

= c .

Рис. 3.23

Геометрический

смысл

векторного

йпроизведения:

модуль векторного

площади

параллелограмма OADB, построенного на

произведения численно равен

векторах a и b .

Свойства векторного произведения

. От

перестановки

множителей векторное произведение меняет направление на

противоположное, сохраняя модуль, т.е.

= −

. Если в векторном произведении изменить знак одного из сомножителей на

противоположный, то произведение также изменит знак на противоположный, т.е.

(−

)= −

. Векторное умножение обладает свойством сочетательности по отношению к

скалярному множителю, т.е.

(λ a) b = λ (a b) и

106

(λ

)= λ (

. Векторное умножение подчиняется распределительному закону, т.е.

(

)

. Векторное произведение двух векторов равно нулю, если хотя бы один из

сомножителей равен нулю.

. Если отличные от нуля векторы

b параллельны,

то их векторное

произведение равно нулю.

≠ 0;

≠ 0 и

, то угол ϕ ,

Доказательство. Действительно, если

между ними

равен 0 или π . В силу определения векторного произведения

sinϕ , но sin 0 = sinπ = 0

= 0 .

. Если векторное произведение двух векторов a и

b , отличных от нуля, равно

a b = a b sinϕ = 0 при

sinϕ = 0 , а этозначит, что a || b .

нулю, то векторы параллельны.

векторного

Вывод. Равенство

нулю

произведения есть необходимое и

Доказательство.

Действительно, если

a b =

0 , а

a ≠ 0;

b ≠ 0 , то

b .

достаточное условие коллинеарности не равных нулю векторов a и

. По свойству коллинеарноститвекторов

i i

= 0 ;

j j = 0 ;

k k

= 0 .

. Параллелограмм, построенный на ортах

Рассмотрим теперь произведение

, есть квадратзОАDВ, площадь которого равна 1.

Рис. 3.24

107

Вектор

перпендикулярен векторам

и образует с ними правую тройку.

Следовательно, произведение

есть единичный вектор, направленный по оси

OZ , т.е.

Аналогично

находим, что

k =

;

. Переставив множители в этих

равенствах на основании переместительного свойства векторного произведения

получим

= −

;

= −

;

= −

Из этих формул следует, что векторное произведение двух любых смежных

единичных векторов и последовательности

даетНследующий вектором

со знаком плюс, и обратной последовательности – со знаком минус. Это можно

изобразить схемой

ортов

i, j,k,i, j

можно

составить таблицу:

Для векторного произведения

-i

Векторное

(x1; y1; z1 );

b(x2 ; y2 ; z2 )

произведение векторов, заданных координатами

тогда

a = x1i + y1 j + z1 k

b = x2 i + y2 j + z2 k .

108

Наличие распределительного и сочетательного законов для векторного умножения дает право произвести перемножение векторов

(x1i + y1

+z1

)(x2i + y2

+z2

)

по правилам умножения обычных

многочленов с учетом

свойств векторного

умножения ортов.

=(x1i + y1

+z1

)(x2i + y2

+z2

)=x1x2 (i i)+ y1x2 (

i)+z1x2 (

i)+

+x1y2 (i

)+ y1y2 (

)+z1y2 (

)+x1z2 (i

)+ y1z2 (

)+z1z2 (

)

Используя таблицу векторного произведения ортов, будем иметь

+(x1y2 − y1x2 )

=−y1z1

+z1x2

+x1y2

−z1y2i −x1z2

+ y1z2i =(y1z2 −z1y2 )i +

(z1x2 −x1z2 )

Полученную формулу можно представить в виде символическогоНопределителя:

проекциях

a b =

Условие коллинеарности

векторов

тпроизведения в геометрии и механике

Приложение векторного

и b , равна модулю

Площадь параллелограмма, построенного на векторах a

векторного произведения, т.е.

Sп = a b .

Площадь треугольника, построенного на векторах a и

b , равна

Sтр. =

Момент силы. Пусть точка А твердого тела неподвижно закреплена, а в точке В

приложена сила

109

При этом возникает вращающий

момент, численно равный

sinϕ

- площади

параллелограмма, построенного на

векторах

В механике

принято его называть моментом силы

и обозначить вектором

§7. Смешанное произведение трех векторов и выражение его через

координаты сомножителей

Пусть даны векторы a,

и c .

Составимa b c

векторное произведение векторов

a и b и полученный вектор a b

умножим скалярно вектор c . Произведение

векторно

)

(

называется смешанным или

р-скалярным произведением трех векторов

Пусть векторы

b и

заданы своими координатами

смешанное

a (x1; y1

; z1 ); b(x2

; y2 ; z2 );

c (x3; y3; z3 ).

зпроизведение в координатах. Пусть

(x, y, z), тогда по

Выразим

формуле

скалярного произведения двух векторов, заданных своими

координатами, будем иметь

= xx3 + yy3 + zz3

(3.17)

Координаты векторного произведения

равны

X =

;

Y = −

;

Z =

(3.18)

Подставляя значения

X , Y, Z

из (3.18) в (3.17), получаем

110

(a b)c = x3

− y3

+ z3

или

(

)

(3.19)

Геометрический смысл смешанного произведения

Пусть векторы

;

не компланарныТи составляют

правую тройку. Тогда вектор

будет нормален в ту же сторону от плоскости

OADB, что и вектор

Определим объем V параллелепипеда, построенного на векторах

тA

V = SOADB H

(3.20)

SOADB =

= u

(3.21)

Риси. 3.26

H = OE = пр

(3.22)

пр

Подставляя (3.21) и (3.22) в (3.20), получаем

вектор

= (

)

V = u

Если векторы a, b и c образуют левую тройку (например, если на рис. 3.26

c будет направлен в противоположную сторону), то все рассуждения

останутся теми же, но

пр

будет отрицательной, т.е.

H = −пр

поэтому

V = ±

(3.23)

(”+”, если тройка векторов

- правая; “-“ - если левая).

111

Геометрический смысл: объем параллелепипеда построенного на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения.

Свойства смешанного произведения

1P0P. От перестановки двух сомножителей смешанное произведение меняетУзнак, сохраняя абсолютную величину.

Это свойство очевидно из представления смешанного произведения определителем в виде (3.19) и свойства определителей менять знак при

перестановке двух строк или столбцов.

Операции скалярного и векторного умножения в смешанном произведении

можно менять местами, т.е.

(

)

(

)

Доказательство. Действительно, по предыдущему

(a b) c =

= −

= (b c) a = a (b c)

В силу этого свойства смешанное произведение принято коротко записывать в

виде (

), или

, гдеопущенызнаки действий и скобки, поскольку

безразлично, какие два

трядом стоящих векторов перемножаются векторно.

. Круговая перестановка трех множителей смешанного произведения не меняет

его

из

величину. Перестановка же двух соседних сомножителей меняет знак

на противоположный, т.е.

(a, b, c)= (b, c, a)

= (c, a,b)= −(a, c,b)= −(c, b, a)= −(b, a, c)

(3.24)

произведения

Условие

компланарности трех векторов

Очевидно, что смешанное произведение трех векторов может отобразиться

внуль в следующих случаях:

1)если среди множителей есть хоть один нуль-вектор;

112

2) если по крайней мере два из перемножаемых векторов коллинеарны (и

значит их векторное произведение

= 0 )

в частности

(

)= (

,)= 0 .

если три вектора

компланарны (параллельны одной и той же

плоскости), т.к. в этом случае вектор(

)

, и (

)

= 0.

Объединяя

ТУ

компланарны.

TТеорема 3.5. T Необходимым и достаточным условием компланарности

трех векторов

является равенство нулю их смешанного произведения.

(

)= 0

или

= 0

(3.25)

объема

и3 3

Последний результат

непосредственно вытекает из геометрического смысла

как

параллелепипеда, построенного на ребрах

смешанного произведения,

Двойное

векторное

произведение

выражение

TОпределение 3.11. TДвойным векторным произведением называют

вида a (b c)или (a b) c .

Запишем формулу, облегчающую вычисление такого произведения

(

)−

(

)

(3.26)

(

)

(

)−

(

)

(3.27)

Из формул (3.26) и (3.27) видно, что в двойном векторном произведении очень важно различать порядок перемножения. Так, в первом случае двойное векторное

113

произведение дает вектор, компланарный с векторами b и c , во втором -

вектор, компланарный с векторами a и b .

§8. N – мерное векторное пространство

Для построения общей теории систем линейных уравнений, для решения

систем линейных дифференциальных уравнений, для решения задач линейного

программирования необходимо ввести понятие многомерного векторного

пространства.

Векторное

пространства. Пусть дана

совокупность

R векторов

2 ;...;

k ;....

TОпределение 3.12.T Совокупность

;.... называется

R векторовБu1;u2 ;...;uk

если ui R и uk

R , то u1

+uk

R ;если

векторным пространством (линейным),

выполняются следующие условия:

1) сумма двух векторов этой совокупности есть вектор той же совокупности, т.е.,

совокупности

вектора

совокупности R на любое действительное число

2) произведение любого

, т.е., если uk R , то λuk R ;

λ есть вектор той же

При этом операции сложения и умножения на число обладают следующими

свойствами:

ассоциативно, т.е.

ui +uk = uk

+ui ;

сложение

коммутативно, т.е.

(

k )+

i + (

j )

i +

j =

k +

е3) единственный нулевой вектор

такой, что

i + 0 =

i для всех

векторов из R

4)для всякого ui из R единственный противоположный вектор - ui такой, что

114

ui +(−ui )= 0

Для любых векторов ui , uk из R и любых действительных чисел α и β

имеют место равенства:

5) α (

i +

k )=α

i +α

(α + β )

i =α

i + β

(αβ )

i =α (β

i )

i =

TОпределение 3.13. TСистема векторов называется линейно-зависимой

u1, u2 ,

..., un ,

(3.28)

если можно найти постоянные C1, C2 ,

..., Cn

одновременно не равные

нулю,

чтобы выполнялось тождественное равенство

C1u1 +C2 u2

+... +Cn un = 0

(3.29)

остальных

в противном случае система (3.28)ибудет линейно независимой. В случае

может

линейной зависимости хотя бы один из векторов системы (3.28) является

линейной комбинацией

векторов этой системы, т.е. хотя бы один из

векторов системы (3.28)

быть разложен по направлениям других (не

обязательно всех) векторов этой системы. Пусть, например, в выражении (3.29)

C1 ≠ 0, тогда

1 = −C2

2 − C3

3 −... −

Базис и координаты и n–мерном пространстве

TОпределение 3.14.T Базисом в n–мерном пространстве R называют любую совокупность n линейно независимых векторов.

Например, в трехмерном пространстве за базис можно принять любые три вектора, не лежащие в одной плоскости.

115

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика