БНТУ / Математика / Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей

§1. Некоторые исторические сведения

Археологические исследования древних стойбищ, пещер,

в которых жили

У

далекие предки современного человека, указывают на то, что 30 - 40 тысяч лет

Т

тому назад наиболее выдающиеся представители эпохи палеолита уже обладали

интеллектуальными

способностями, сравнимыми

с творческим потенциалом

исследователей нашего

Н

времени. Примерно в те давние времена зародились

Б

первые представления о числе и счете, были построены достаточно совершенные

календарные системы, а также созданы достаточно изящные произведения

искусства (статуэтки животных). Во 2-ом десятке тысяч лет до нашей эры

человечество, несмотря

на Ледниковую эпоху, сумело создать весьма точные

и

календари, которые позволяли предсказывать даже время наступления солнечных

р

и лунных затмений. Примером такогойкалендаря является, в частности,

достигнут в течение

неолита(VIII-III тыс. лет до н. э.). В конце этой эпохи

ритуальный жезл из бивня мамонта, который был найден в 1972 г. в Хакасии (его

возраст составлял примерно XVIII тыс. лет).

т

Несравненно более

высокий уровень интеллектуальной деятельности был

эпохи

з

появились первые (ранние) цивилизации (Древние царства Египта, Шумер), в

недрах

которых

зародилась архитектура, первые истоки философии, математики и

п

инженерной мысли. В частности, около 3400г. до н. э. в Шумере были изобретены

гончарный

круг

и

колесо, представлявшие

наиболее

симметричные

несколько

искусственные объекты, созданные в те времена руками человека. Кроме того,

Р

позднее были изобретены весы и клещи, использование которых было

выполнения арифметических операций. К тому же появились первые школы и

первые математические работы. Древнейший манускрипт египетской математики

был

написан около 2000

лет

Т

до н.э. Ахмесом. Древними египтянами были

Н

созданы развитые календари, одна из модификаций которого (Уюлианский

календарь) использовалась в Европе вплоть до XVI века н.э. Ремесленники и

Б

художники Древнего Востока (особенно египтяне) создали вес возможные

изящные

типы узоров на

плоскости, которые

соответствуют всем 17 типам

й

симметричных орнаментов, которые только и могутреализовываться.

и

Колоссальный прорыв был достигнут человечеством в 1-ом тысячелетии до

н.э.

(железный век). Несмотря

на то, что в эпоху бронзового века мудрецы

р

Древнего Востока могли производить достаточно сложные вычисления, находить

площади

о

фигур (например,

треугольников,

и объёмы относительно простых

т

трапеций, пирамид, цилиндров и т.п.) и решать некоторые другие задачи, они не

создали

логических

развитого рационального мышления, которое основывается на

з

умозаключений, обобщений и элементов анализа,

использовании

синтеза,

Такое мышление, подход к решению разнообразных задач было

основы

разработано древними греками, Они, в частности, создали философию, логику,

п

современной

математики

и

физики. Среди

выдающихся

первые

Аристотеля

представителей Древней Греции нужно отметить Фалеса (ок. 624 - ок. 547 гг. до

н.э.), Пифагора (VI в. до н.э.), Платона (428 или 427 - 348 или 347 гг. до н.э.),

Р

(ок.384 - ок,322 гг. до н.э.), Евклида (III в. до н.э.), Архимеда (ок. 287-

установил

свой

знаменитый

закон

Архимеда, используя

для

этого очень

Т

интересные и изящные геометрические построения и логические умозаключения.

Н

Диофант наряду с учёными Древнего Китая и Древней Индии создалУосновы

алгебры,

подлинный расцвет которой начался только в конце 1-го тысячелетия

н.э. в работах арабских математиков.

Б

Значительные

успехи

в

области алгебры,

тригонометрии, приближённых

й

вычислений, создания удобных систем исчисления были достигнуты в XI-XV вв. в

и

странах Древнего Востока. Кроме того, ряд выдающихся результатов был получен

учёными этих стран в области астрономии.

при

Европы

после

падения Римской

Интеллектуальное пробуждение

Западной

империи (476 г.

школы

н. э.) наступило только в XI-ХIII вв. н. э. Значительную роль в

этот процесс

т

монастырях

и

первые

университеты,

внесли

появившиеся в

Риме

XII в. в Париже, Болонье, а в ХIII в. в Падуе, Оксфорде,

Кембридже,

за

и .д. Наиболее значительным вкладом европейских

Неаполе,

учёных

в первой половине 2-го тысячелетия н. э. является формирование

форм

основных понятий механики (скорость, ускорение, сила и т.п.), построение

европейским

= x P

,

а

-

любое

действительное

число,

а также развитие

функций типа у

P

путем

мышления

(в рамках схоластических учений). Кроме того,

логических

Р

художникам эпохи Возрождения удалось установить эмпирическим

ряд законов перспективы (они относятся к области проективной

геометрии). Среди этих художников и учёных особо выделялся Леонардо да

Винчи (1452-1519 гг.).

Начиная со второй половины 2-го тысячелетия н.э. европейские учёные,

инженеры,

изобретатели

внесли наибольший

вклад

в

развитие

человеческой

использовал для доказательства закона равновесия тела, опирающегося на

наклонную плоскость, невозможность существования вечного движения.

Т

В XVII в. было создано интегральное и дифференциальное исчисление, заложены

Н

основы аналитической геометрии, сформулированы законы КеплераУ, построено

здание классической механики,

введены

понятия рядов, бесконечных

Б

произведений, цепных дробей, определены логарифмические и показательные

функции, созданы первые элементы теории

дифференциальных уравнений,

й

сформулированы первые теоремы проективной геометрии.

В XVIII в. чрезвычайно сильно

были

разработаны аналитические методы, а

также введены двукратные, трёхкратные иные интегралы, исследованы многие

теория

элементарные и более сложные функции. Кроме этого, в те времена зародилась

о

математическая физика, аналитическая механика, начали усиленно развиваться

т

функций комплексного переменного.

методы вычислений, зародилась

и

В XIX в. продолжал усиленно развиваться математический анализ,

з

значительных успехов добились в области проективной и дифференциальной

геометрии. В этом же веке были заложены основы современной алгебры, теории

о

дифференциальных уравнений, теории вероятностей. Тогда же было разработано

п

векторное и тензорное исчисление и даны плодотворные применения

более

математических методов к решению физических и инженерных задач.

Существенного прогресса в XIX в. добились в области теории чисел и построения

Р

механики, общей теории относительности). Математики в XIX и особенно в XX

вв. исследовали не только количественные характеристики различных объектов,

но и изучали качественные их стороны и свойства.

Т

Н

В XX в. математические исследования отличались уже весьмаУвысокой

степенью абстракции, широко использовались, при моделировании разнообразных

Б

процессов и применялись при проведении качественного и количественного

анализа

реальных технических

конструкций. Математика в XX в. стала

неотъемлемой

частью не только

й

науки, но и технического прогресса. Без

решить

практически ни одну сложную

использования ее методов невозможно

техническую проблему, строить физические теории, объясняющие поведение тех

р

или иных физических объектов, явлений, процессов. Более того, без употребления

созданы

образов, символов, языка, математических конструкций, методов вычислений,

теорем и

т

и доказаны

в недрах математики, по сути

т.п., которые

невозможно

и

объяснить закономерности окружающего мира, фиксировать

з

информацию, проводить анализ свойств объектов и делать правильные выводы о

их свойствах, а также нельзя надеяться на реализацию наукоемких технических

о

проектов.

п

Итак, человеческий интеллект, который является продуктом развития

математика

человечества в течение многих и многих тысячелетий, стал огромной движущей

силой, развивающей человеческое сообщество. Наряду с другими науками

играет в этом процессе не последнюю роль.

Р§ 2. Элементарные понятия теории множеств.