МиАПР_ПОВТ_2012 / MIAPR / MuAПP1

Масштабирование задач.

В идеальном случае все переменные масштабируются таким образом, чтобы их значения находились в интервале от 0,1 до 10. В этом случае векторы направления поиска и векторы возмущений имеют приемлемые значения.

решение системы уравнения

путём преобразования удалось уменьшить якобиана с –1,9*10⁶ до –1,9.

Графическая интерпретация задач дробно-линейного профиля.

Задачи дробно-линейного профиля можно свести к задачам линейного программирования, решение которых используется для определения значений первоначальных переменных.

1. Задачи дробно- линейного программирования с однородным функционалом:

2. Задача дробно- линейного программирования с неоднородным функционалом.

1. Строим допустимую область.

2. Проверяем выполнение условия (1); строим прямую и, если она не пересекает область значений, то функционал Z не меняет знак.

3. Отыскиваем координаты нового центра (2).

4. Из нового центра проводим разрешающие прямые, находим экстрем. Точки и значения функции.

Пример:

Решение уравнений четвёртого уровня.

Метод Ферарри (1545).

1. Вводим дополнительную переменную.

2. Решаем кубическое уравнение

3. Решаем два квадратных уравнения, от вспомогательных переменных переходим к начальным .

Подстановка

Вводим параметр (2)

подбирается таким образом, чтобы выражение в квадратных скобках было полным квадратом.

Выполнение этого условия возможно, если дискрименант уравнения в квадратных скобках равен 0.

В полученном кубическом уравнении находим один из корней , который обеспечивает наличие одного двухкратного корня многочлена в квадратных скобках.

Раскладываем, получаем выражение на два уравнения второй степени.

Определим и

Определим и

Модификация метода Феррари.

введём дополнительную переменную y путём прибавления и вычитания выражения:

Подберём у так чтобы многочлен стал полным квадратом:

- кубическое уравнение у->корень

Пример:

Решение уравнений 3-ей степени.

Случай действительных корней

Метод модифицированных функций Лагранжа.

Пример:

t
0	0	3	2	3
1	1	2,6667	3,5556	4,3333
2	1,3333	2,5556	4,1728	4,4814
3	1,4444	2,5185	4,3896	4,4979
4	1,4845	2,5065	4,4629	4,4997
5	1,5000	2,5000	4,5000	4,5000
…	…	…	…	…

Решение задач дробно-линейного программирования.

Пусть

Обозначим

П ример:

Оптимальное решение

Метод линеаризации для задачи условной оптимизации.

Отличие данной задачи от задачи линейного программирования в стандартной форме заключается в нелинейной целевой функции

Алгоритм Франка Вульфа.

Дано

Шаг 1.

Вычисляем

Если ,то поиск завершён

Шаг 2.

Решаем задачу линейного программирования

-оптимальное решение

Шаг 3.

Найти из решения

Шаг 4.

Вычислим

Шаг 5.

если не выполняется то перейти к первому шагу, иначе поиск закончен.

Решаем задачу линейного программирования

Проводим одномерный поиск вдоль прямой

остановимся на

находим значение х

вычислим

решим задачу линейного програмирования

т.е.

то

Методы прямого поиска 1

Метод поиска в узлах решётки. 1

Метод эволюционной оптимизации(Метод Бокса). 1

Метод симплекса. 2

Метод поиска Хука-Дживса 2

Метод сопряженных направлений Пауэла. 3

Градиентные методы. 4

Метод Каши. 5

Метод Фледчера-Ривса 5

Метод Ньютона. 6

Модифицированный метод Ньютона. 7

Метод Марквардта. 7

Решение задач условной оптимизации. 8

Метод понижения размерности. 8

Метод множителей Лагранжа 8

Второй способ решения задачи. 11

Случай нескольких ограничений равенств. 11

Методы оптимизации на основе преобразования задачи. 12

Квадратичный штраф. 12

Основные типы штрафных функций в случае ограничений неравенств. 13

Штраф типа квадрата срезки. 13

Логарифмический штраф. 14

Штраф, выдаваемый обратной функцией. 15

Метод исключения переменных при наличии нескольких ограничений. 15

Метод комплекса (Бокс 1965) 16

Задачи спец. структуры 18

Геометрическое программирование. 18

Стратегии оптимизационных исследований. 19

Масштабирование задач. 19

Графическая интерпретация задач дробно-линейного профиля. 20

Решение уравнений четвёртого уровня. 22

Метод Ферарри (1545). 22

Модификация метода Феррари. 23

Решение уравнений 3-ей степени. 24

Случай действительных корней 24

Метод модифицированных функций Лагранжа. 25

Решение задач дробно-линейного программирования. 26

Метод линеаризации для задачи условной оптимизации. 27

Алгоритм Франка Вульфа. 27