Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

doc2

.pdf

Скачиваний:

168

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

14.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7273 / 8773 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 > Следующая >>>

720		XI. Аналитическая механика,
Р е ш е н и е
Приняв за обобщенную коорди-
нату угол поворота барабана центри-
фуги q = ф2 = ф, запишем уравнение		в
Лагранжа 2-го рода для данной ме-
ханической системы, имеющей одну
степень свободы:
J / U J Эф	( )

Определим кинетическую энергию системы:

т = т0+т1 + т2,

где Т0 = i /„cog; 7] = 17, со?; Г2 = i /2со|.

Так как со2 = ф, coj = /|2ф, COQ = /01со}, получим

Найдем производные, входящие в уравнение (1):

(КдТЛ	,г	,	ЭТ	(2)
1	= (/о'()1']22 + /\|'12 + /2)ф;		^ - = 0.	(2)
о/ V Эф У			Эф

Для определения обобщенной силы найдем элементарную работу

8А = (Л/0 - Л/0')5ф0 - М,Ъ(р, - М25ф = [(М0 - Mo)iQii12 - Mfi]2 - Л/2] 5ф,

где 8ф0 =/о1'Ъ8ф; 5ф, = г')28ф (аналогично соотношению угловых скоростей).

Тогда

Q, = (Л/о - Л/о) 'о1'i2 - M{iu - М2.

(3)

Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1), получим искомое дифференциальное уравнение вращения барабана центрифуги:

(Vol '12 + h'l.2 + /г)ф = (М) - Л/о)'о|'12 ~ M(il2 - М'2.

О т в е т : (/0/02,/,22 + /,/,22 + /2)ф = (М0 - Л/о)/01 /,2 - Л/,'/,2 - Л/2'.

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

721

Задача 48.3

Привод электромобиля состоит из электродвигателя ЭД и одноступенчатого редуктора с передаточным числом ;'. Составить дифференциальное уравнение движения электромобиля, если /0 — момент инерции ротора электродвигателя, 1| — момент инерции каждого из четырех колес, имеющих радиус г , т — суммарная масса электромобиля, М — вращающий момент электродвигателя, М ' — момент сил сопротивления на валу электродвигателя, F — суммарная сила сопротивления движению электромобиля.

Р е ш е н и е В данном случае уравнение Лагранжа 2-го рода имеет вид

(1)

За обобщенную координату принято поступательное перемеще-

ние электромобиля q-x	(см. рисунок).
F		С
£// / "уГ/	mg
Определим кинетическую энергию системы
	т = г0 + т;вр + т2.
Кинетическая энергия		электродвигателя
где coo = - r i х ~ ш1г	=	х
		г

722	XI. Аналитическая механика,

Кинетическая энергия четырех колес во вращательном движении

= 4 —/,со?= - 4 / ,4 .

Кинетическая энергия электромобиля с учетом кинетической энергии четырех колес при поступательном движении

Т2-~ тх2.

В результате

I 4/, /0 Лхг

Найдем производные, входящие в уравнение (1): d(dT\ ( 4/, /о V. ЪТ .

Для определения обобщенной силы сообщим системе возможное перемещение 5х и вычислим возможную элементарную работу

о	8ф, „	8х	_	8х
где 8ф = -21, 8ф\| = — => 8ф = —.
	/	г		ir
Тогда
		q	m	m	- W f	( 3 )
				ОХ	1Г

Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1) и получим дифференциальное уравнение движения электромобиля:

				т +4/,		+ ~/ о \\х =М - М' „F.
					/•		i г )	ir
п	( 4/,			/ 0	V		М - М ' ,,
О т в е т :	\т +			+ — х =				F.
		г	2-22,		J		ir
		г		rrz	J		ir

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

723

Задача 48.4

Электродвигатель ЭД стабилизирующего привода установлен на вращающейся раме, положение которой задается углом ф. Шестерня 1 на валу электродвигателя обкатывается вокруг шестерни 2, связанной с неподвижным основанием. Составить дифференциальное

уравнение движения рамы, если 1\ — момент инерции рамы вместе с электродвигателем, /0 — момент инерции ротора электродвигателя, /,2 — передаточное число пары шестерен, М0 — вращающий момент электродвигателя, MQ — момент сил сопротивления на валу электродвигателя, М{ — момент сил, приложенных к раме вокруг ее оси.

Р е ш е н и е

Приняв за обобщенную координату угол поворота рамы q = ф (см. рисунок), запишем уравнение Лагранжа 2-го рода:

ЭТ
dt V Эф ) Эф= 0р.	(1)

Кинетическая энергия механической системы

Г = 7-0 + 71,

где Т0=- 10щ — кинетическая энергия ЭД; 7] = — /, coj — кинетическая

энергия рамы.

В данном случае coj = ф — искомая обобщенная скорость. Чтобы выразить со0 через озь применим метод Виллиса. Тогда

С02 - СО) (О0-СО| = -hi,

где /12 = -1-, а>2 =0, так как шестерня 2 — неподвижна; знак минус Z2

в правой части выражения указывает на внешнее зацепление.

724			XI. Аналитическая		механик
Тогда
	С0,(1 +/,2) = С00/,2
или
	1+Zi2	(.	I V
	СОо = -7-^(01 =	V	1 + — ф.
	«12	V	'12 J
В результате получим
	Т = /0\| 1 +		+ / ,
Найдем производные от кинетической энергии, входящие в урав-
нение (1):
ЭГ	'о		ЭТ	= 0.	(2)
dt Эф	'о		ЭТ	= 0.	(2)
dt Эф	. 1\г)		Эф

Определим обобщенную силу. Для этого сообщим системе возможное перемещение 8ф и запишем выражение для элементарной работы:

8А = (М0 - Л/')5ф0 - Л/)'5ф.

Так как

8фо _ <0р 8ф СО]'

то

8ф0 = |1 + ^ - |8ф.

Тогда

8А = (М0-M')\l + j- \-М{ 8ф,

а обобщенная сила

8ф	V /\|2,	( 3 )

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода			725
Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1) и получим
/„(l + f	)	+/\| ^ =	+
О т в е т : /0\|1 + ± \|	+ / ,	§ = (М0-	М') 1 + — \| - М [ .
			. '12,

Задача 48.5

Определить движение груза массы т, висящего на однородном тросе массы и длины /; трос навернут на барабан радиуса а и массы т2; ось вращения горизонтальна; трением пренебречь, массу барабана считать равномерно распределенной по его ободу. В начальный момент t = 0 система находилась в покое, длина свисавшей части троса /0.

Указание. Пренебречь размерами барабана по сравнению с длиной свешивающейся части.

Р е ш е н и е

Приняв за обобщенную координату q перемещение х груза Р (см. рисунок), определим кинетическую энергию данной механической системы:

Т ~ ^тр

+ Ггр.

Кинетическая энергия троса ТГР с учетом того, что все частицы троса массы от, (включая и находящиеся на барабане) имеют скорость х, равна

Ттр = £Д/их2	2
	*2 1 А т ] = 2

Так как масса барабана равномерно распределена по его ободу,

/ = т2а2.

726 XI. Аналитическая механика,

Учитывая также зависимость ф = —, получим, что кинетическая
а
энергия барабана
1	^2
Т ъ ^ т 2 а - J
Кинетическая энергия груза
Следовательно,
Т = (m+m\+m2)—.	(1)

Определим потенциальную энергию свисающей части троса и груза Р, принимая за нулевой потенциал горизонтальную прямую, проходящую через центр барабана — точку О, и пренебрегая размерами барабана по сравнению с длиной свисающей части троса:

гт	Ш\Х х	m\gx2	(2)
n=-mgx—,—g-~		= -mgx—g—,	(2)
m,x		„	х

где ~ j ~ S ~ сила тяжести свисающей части троса; — — координата

центра тяжести троса; / — длина троса.

Вводя функцию Лагранжа L-T - Я , запишем уравнение Лагранжа 2-го рода:

dtydx) дх

После интегрирования получим дифференциальное уравнение

(m+m,+m2)x-j±gx

= mg.

(3)

Решение уравнения (3) ищем в виде

х=х + х*,

(4)

где х — решение соответствующего однородного уравнения; х* — частное решение уравнения.

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

727

Из курса высшей математики известно: x = Cxchkt +C2sh kt,

где к = /			; ch kt, sh kt — соответственно гиперболический
\(т+тх +т2)1
косинус и синус.
Частное решение имеет вид
						х* = А.
Подставим х* в уравнение (3) и найдем
						*	ml
						х*	тх .
Тогда согласно формуле (4)
			х = Cxcbkt + C2shkt - -ml								(5)
									mx
			x = Cxkshkt+C2k						ch kt.
Используя начальные условия: / = О, х(0) = /0, получим
			/ 0 = С , -			rrU	Г		-1	+ml
							Г		-1	+ml
						тх'	С\|		- /о + — ,
			[О = С2к			тх'	LC2 = 0.			Щ
			[О = С2к				LC2 = 0.
Подставим значения Сх					и С2 в формулу (5) и получим
			ml	(,		т1Л	<		Щ8
			т, + V/		> + —		<		Щ8
	х	=	т, + V/		0 .	Щ)Ich		(m+m{		+m2)l t.
/-Ч	tnl		К	)			mxg
О т в е т : х =	тх	+			ch \(jn+mx			+m2)l		t.

728	XI. Аналитическая механика,

Задача 48.6

В эпициклическом механизме бегающая шестеренка радиуса г, насажена на кривошип с противовесом, вращающийся вокруг оси неподвижной шестеренки под действием приложенного момента М. Определить угловое ускорение вращения кривошипа и окружное усилие S в точке касания шестеренок, если расстояние между осями шестеренок равно /, момент инерции кривошипа с противовесом относительно оси вращения кривошипа равен /0 , масса бегающей шестеренки ть момент инерции шес-

теренки относительно ее оси /j; трением пренебречь, центр масс шестеренки и кривошипа с противовесом находится на оси вращения кривошипа.

Р е ш е н и е

Приняв за обобщенную координату q угол поворота кривошипа <р, запишем уравнение Лагранжа 2-го рода для данной механической системы, имеющей одну степень свободы:

£fdL	Ж -пм	(1)
d/ V Эф,	Эф

где L = Т - П — кинетический потенциал.

Кинетическая энергия системы

^ — ^кр + Тш.

Кинетическая энергия кривошипа

'кр /оФ2

Кинетическая энергия шестеренки

г		Wi V•QI , ЛиV			¥\		m l		<$>	2	I,ф,	2
/	~	2	1	я 2		=	x	2	-(
		2		2			2				2

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода			729
Тогда
т _ /0Ф2 ,	ЛФ2	,	(2)
2	2	2	(2)
2	2	2
Установим связь между ф и ф, по методу Виллиса:
Ф з - ф ^		П_
Ф1-Ф	1-Ц
откуда с учетом того, что ф2 =0,	получим
ф,	= -/ ф. .
	Ц

Заметим, что это соотношение можно получить из условия плоского движения шестеренки 1, имеющей МЦС в точке К касания колес (рис. 1). Подставим в выражение (2) значение ф, и получим

Т = /0 +ОТ]/ + Lt	Ф2
л
В качестве нулевого потенциального уров-
ня выберем горизонтальную прямую, прохо-
дящую через точку О, и, принимая во вни-			Рис. 1
мание, что центр масс шестеренки и криво-			Рис. 1
шипа находится в той же точке, получим
	/7=0.
Следовательно,
	L = T.
Тогда
L{i^V—=	/ 0 +ГП\1	+ ф.	(3)
dtydip) Эф		I 2 ,
Найдем обобщенную непотенциальную силу QM,			соответствую-
щую приложенному внешнему моменту.

<<< < Предыдущая 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7273 / 8773 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Теор.мех

#
31.05.201511.39 Mб171doc1.pdf
#
31.05.201514.26 Mб168doc2.pdf