А.Ерешко.Стратегии в задачах управления портфелем ЦБ

будь то продажа или покупка. Мы будем рассматривать несколько типов поведения инвестора в расчетах с биржей.

Основная задача, случай G.

Если инвестор в день t проводит операции с некоторым видом бумаг i , то с данным видом бумаг это только одна операция: либо продажа (части) бумаг i , либо покупка (дополнительная) бумаг вида i .

В этом случае динамика изменения количества бумаг в портфеле (из ht в ht ) удовлетворяют соотношению

N

(ct ht ) (ct ,ht ) (k ct,i ht,i ct,i ht,i ) . i 1

Вспомогательная задача, случай E

Вначале сессии инвестор продает все бумаги и на полученный капитал закупает в конце сессии новый набор облигаций.

Вэтом случае динамика портфеля описывается соотношением

NN

(ct ht ) (ct ,ht ) (kct,i ht,i ) (kct,i ht,i ) . i 1 i 1

Вспомогательная задача, случай O

Инвестор не выплачивает комиссию.

В этом случае динамика портфеля описывается соотношением

(ct ht ) (ct ,ht ) .

Через St , St обозначим стоимость портфеля до и после управления в день t , соответственно

NN

41

Целью управления будет максимизация за период [0,T ] дохо-

да ST от вложенного в ценные бумаги в первый день управления

капитала и минимизация риска.

Изменение цен от сессии к сессии будем описывать в виде марковского процесса с дискретным временем и глубиной p , т.е.

вектор цен в день t – это случайный вектор ct с распределением

F(ct ) Ft (ct Ct 1 ,Ct 2, ,Ct p ) , t 0,1,2, T .

В дальнейшем управление в день t в рассматриваемой модели отождествим с выбором ht .

Набор таких функций H {ht ( )}Tt 0 назовем стратегией управления, а множество подобных стратегий обозначим . Любая стратегия H и матрица A1 (ct )t0 p полностью определяют вероятностное распределение на траекториях

(h0 ,c1, h1 , h1 ,c2 , ,cT 1 , hT 1 , hT 1,cT ) ,

которое индуцирует распределение ST как случайной вели-

чины.

Рассмотрим для этой операции инвестора два критерия: критерий, описывающий ожидаемый результат, и критерий, описывающий риск операции.

Критерий математическое ожидание

Ставится задача максимизировать математическое ожидание трансформации ST в классе стратегий :

M (ST ) max ,

42

при ограничениях на динамику портфеля и некоторых ограничениях на переменные процесса.

Критерий допустимых потерь

Как отмечается в [10, 93], в последнее время в задачах управления портфелем все большую популярность приобретает критерий VaR (Value at Risk), отражающий вероятность превышения (или недостижения) заданного уровня некоторым избранным показателем качества управления и состояния процесса.

Определим в нашем случае при каждой заданной стратегии управления H этот критерий в виде

W2 PF (ct ) ((cT ,hT ) K ) , t 0,1, ,T ,

где F(ct ) – определенное выше распределение для случайного вектора цен, а K – заданный уровень конечного результата.

Перепишем это определение, используя операцию осреднения и характеристическую функцию:

W2 M c1 ,c2 , ,cT (H ,(c0 , h0 )) ,

где характеристическая функция имеет вид

Как следует из приведенной записи, при управлении портфелем инвестору желательно стремиться к увеличению показателя ка-

чества W2 .

Парето-оптимальные решения

Введенные таким образом критерии позволяют сформулировать двухкритериальную задачу управления портфелем: (W1 ,W2 )

при ограничениях, описывающих динамику изменения состояния портфеля, и при управлении в широком классе управлений, как функций от состояния портфеля и процесса изменения цен. Отдель-

43

ные постановки задач в зависимости от информированности инвестора приводятся ниже.

Как и в общем случае, в данной постановке можно строить отдельные точки паретовского множества введенных критериев, решая задачи

1W1 2W2 max

при фиксированных 1 , 2 0 и 1 2 1.

Замечания

1. Как следует из определения (W1 ,W2 ) и свойств операции осреднения, для решения сформулированной задачи

max M c1 , ,cT ( 1 (cT , hT ) 2 T (H ,(c0 , h0 ))

допустимо использование формализма динамического программирования и, следовательно, возможно выписать уравнения Беллмана.

2. В то же время, если в качестве оценки риска принимается дисперсия конечного состояния портфеля по аналогии с классическим случаем задачи Марковица в одношаговом случае, то уравнения Беллмана не приводят к решению задачи, как показывает следующий пример.

Рассмотрим динамический процесс управления ценными бумагами в исходной постановке. Пусть задана некоторая стратегия поведения. Поставим вопрос: можно ли, двигаясь справа налево и отслеживая для состояний системы только дисперсию, просчитать дисперсию результата для всех состояний. Отрицательный ответ следует из примера.

Шаги t 1,2,3; одна бумага в портфеле в единственном числе; состояния s11 , s21 , s22 , s31 , s32 – первый индекс – шаг, второй индекс

нумерует состояния на шаге; управление в каждом состоянии одно, безальтернативное.

44

После первого шага с равной вероятностью система попадает либо в состояние s21 , либо в состояние s22 . Из любого из этих со-

стояний на третьем шаге система детерминированно попадает в состояние с тем же вторым индексом.

Цены на бумагу: c11 1, c21 c31 a, c22 c32 b .

Отсюда дисперсия результата (конечного капитала) для состояний s21 и s22 в силу дальнейшей детерминированности процесса равна нулю.

Результирующий капитал после состояния s11 примет с рав-

ной вероятностью или значение a , или b . Поэтому дисперсия результата равна

т.е. является функцией разности a b , что не соответствует предыдущей нулевой оценке.

3. На практике [16] при решении динамических задач используется следующая модификация критерия типа дисперсии:

W2 M c1 , ,cT ((cT , hT ) K)2 .

§2. Постановки задач при критерии математического ожидания

Во всем дальнейшем тексте рассматривается однокритериальная задача при критерии математического ожидания.

В зависимости от информированности инвестора и соответственно класса стратегий могут быть сформулированы различные задачи управления процессом трансформации портфеля.

Программные стратегии (функции времени)

а) Если инвестор будет располагать информацией о реализации случайного процесса цен на весь рассматриваемый интервал и вы-

бирать управления в виде ht как функции времени, т.е. как функ-

45

ции только номера шага, то его наибольший результат запишется в виде:

б) Если оставаясь в рамках программных стратегий инвестор не будет располагать никакой информацией о реализациях случайного процесса, то его наибольший результат запишется в виде

и решение задачи фактически сведется к детерминированному случаю.

Стратегии – политики (класс синтезов)

в) Если управление в день t разыскивается в виде функции от истории, т.е.

ht ht (ct ,ct 1 , ,ct p 1 ;ht ,ht 1 ,ht 1 , ,h2 ,h2 ,h1 ) , t 1,2, T 1,

что предполагает, что инвестор будет постепенно шаг за шагом получать информацию о ценах, то его наибольший результат запишется в виде

г) Если инвестор будет располагать информацией на шаг вперед, во всем оставаясь в рамках предыдущей постановки, то его наибольший результат запишется в виде

46

Во всех перечисленных выше постановках учитываются ограничения на динамику портфеля в одной из записей G, E, O.

Теорема 1. Верны следующие соотношения:

W1 W2 W2 W1 .

Доказательство

Данный факт следует из того, что в каждой последующей задаче по сравнению с предыдущей рассматривается более широкий класс управлений, содержащий в себе и управления предшествующей задачи.

Теорема 2. W2 (O) W 2(G) W2 (E) .

Доказательство

Этот факт следует из монотонной зависимости конечного дохода от комиссионных изъятий: наибольшее изъятие – в случае E, наименьшее изъятие – в случае O, промежуточное – в случае G.

Все дальнейшее рассмотрение в данной работе относится к случаю в), как наиболее реалистичному случаю, и в смысле получения информации, и в смысле содержания задачи управления портфелем ценных бумаг.

Постановка задачи в модели CALM [16] также относится к данному классу.

§3. Стохастическая задача в классе синтеза без комиссии

Рассмотрим вспомогательную стохастическую задачу без комиссии (случай O) в постановке в). Обращение к этой задаче определяется оценкой по теореме 2 интересующей нас задачи в) в постановке случая G и простотой выкладок.

Как следует из изложенного выше, в этом случае процесс из-

менения портфеля имеет вид (ct ,ht ) (ct ,ht ) , где ht , ht 1 – векто-

ры, компоненты которых есть количества облигаций номеров j , j 1,2, , N , в портфеле после акта принятия решения на сессиях номеров t , t 1 соответственно.

Управление ищем в виде ht ( ) ht (ct , ht 1 ) .

47

Функционал имеет вид (cT ,hT 1) .

Оптимальная задача в этом случае, в силу Марковости процесса цен и типа ограничений, будет иметь вид

Определим WT (cT ,hT 1) (McT ,hT 1) и выпишем последовательно для этой задачи уравнения Беллмана [86].

при ограничении (cT 1, hT 1 ) (cT 1, hT 2 ) .

Решение данной задачи находится в одной из вершин, найдем некоторую jT 1 -ю:

48

Подставим это соотношение в функционал рассматриваемой на этом шаге задачи и получим выражение для оценки оптимального значения функционала общей задачи, если процесс начинается с

Наряду с этой прямой задачей линейного программирования рассмотрим двойственную ей задачу. Она имеет вид

min (cT 1, hT 2 ) T 1

Шаг 2. Теперь на сессии T 2 , для каждой пары cT 2 , hT 3 мы решаем задачу

W (c , h ) max MW (c , h )

T 2 T 2 T 3 hT 2 T 1 T 1 T 2

49

при ограничении (cT 2 , hT 2 ) (cT 2 , hT 3 ) .

В силу предшествующего замечания относительно T 1 эта

задача также есть задача линейного программирования:

Оптимальное значение оценки функционала общей задачи для состояния cT 2 , hT 3 запишется в виде

Выпишем здесь двойственную задачу

min (cT 2 , hT 3 ) T 2

T 2

50