LabsMech&MolPhys / 105
.pdfБелорусский национальный технический университет
Кафедра «Техническая физика»
Лаборатория механики и молекулярной физики
Лабораторная работа № 105
«Определение момента инерции крестообразного маятника»
Минск 2010
Лабораторная работа № 105 |
1 |
1.Цель работы:
1. Проверить выполнимость основного закона динамики вращательного движения твердого тела.
2.Определить момент инерции крестообразного маятника.
3.Исследовать зависимость момента инерции крестообразного маятника от распределения массы относительно оси вращения.
2.Литература:
1. Сивухин Д.В.Общий курс физики, т.1, гл.2, § 17. М., "Наука", 1989.
2.Детлаф А.А. , Яворский Б.М. Курс физики. М. "Высшая школа", 1989.
3.Трофимова Т.И. Курс физики. М., "Высшая школа", 1998.
4.Савельев И.В. Курс общей физики, т.1, гл.2, §15. М., "Наука", 1977.
3.Порядок теоретической подготовки к выполнению работы.
Изучить и законспектировать в тетрадь ответы на контрольные вопросы.
4.Контрольные вопросы:
1. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
2.Как определяется момент силы относительно произвольной оси?
3.Что называют моментом инерции материальной точки?
4.Что называют моментом инерции тела и от чего он зависит?
5.Вывод рабочей формулы для расчета момента инерции крестообразного маятника.
6.Теорема Штейнера.
7.Зависимость момента инерции тела от распределения массы тела.
5.Приборы и принадлежности:
1. Крестообразный маятник (маятник Обербека).
2.Секундомер.
3.Набор грузов.
6.Указания по технике безопасности:
Приборы питаются от сети переменного напряжения 220 В.
НЕ РАЗРЕШАЕТСЯ РАБОТАТЬ ПРИ ПОВРЕЖДЕННОЙ ИЗОЛЯЦИИ СОЕДИНИТЕЛЬНЫХ ПРОВОДОВ.
7.Отчёт по лабораторной работе должен содержать:
1) цель работы
2)приборы и принадлежности к работе
3)схему лабораторной установки
4)физическую модель
5)математическую модель
6)таблицу результатов измерений
7)результаты расчётов и погрешности
8)выводы
2 |
Определение момента инерции крестообразного маятника |
1.Основной закон динамики вращательного движения твердого тела.
Основное уравнение динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси в общем виде имеет вид:
|
|
dLr |
= |
r |
(1) |
|
|
dt |
M , |
||
|
|
|
|
|
|
гдеLr = I ωr - момент импульса тела относительно этой оси, Mr – |
результирующий момент всех |
||||
внешних сил, приложенных к телу, относительно той же оси, I |
– момент инерции тела, ωr - |
||||
угловая скорость вращения. |
|
|
|
|
|
Если момент инерции тела не меняется (I = const), то уравнение (1) можно записать в виде: |
|||||
I |
dωr |
= Mr |
или Iεr = Mr |
(2) |
|
dt |
|||||
где εr - угловое ускорение тела. |
|
|
|
|
|
Момент инерции тела есть величина, характеризующая инертность тела при вращении. В
уравнении (2) роль момента инерции аналогична роли массы в уравнении поступательного движения. Момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции всех элементов (точек) тела относительно этой оси и выражается следующей формулой:
I = lim |
n |
∆m |
|
= |
∫ |
r 2 dm = |
∫ |
ρdV |
(3) |
r 2 |
i |
||||||||
n→∞ |
∑ i |
|
|
|
|
|
|||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
V |
|
|
где ri - расстояние элемента массы ∆mi до оси вращения, |
ρ - плотность тела,V |
- объем тела |
|||||||
(рис.1а). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
б |
Рис.1 Таким образом, момент инерции зависит не только от массы тела, но и от распределения ее относительно оси вращения.
Момент инерции тела относительно произвольной оси (OO''), согласно теореме Штейнера, равен сумме момента инерции I0 тела относительно оси, проходящей через центр масс тела(OO’),
параллельно заданной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями
(рис.1б):
I = I0 + mR2 |
(4) |
Любое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от состояния своего движения. В системе СИ момент инерции измеряется в [I ]= кг *м2.
Лабораторная работа № 105 |
3 |
2.Содержание работы. Вывод рабочей формулы.
Целью данной работы является проверка основных уравнений вращательного движения с помощью маятника Обербека (рис.2). Этот прибор позволяет исследовать зависимость момента инерции тела от его массы и от распределения массы относительно оси вращения.
Маятник Обербека представляет собой крестообразный маятник. Он состоит из шкива и четырех взаимно перпендикулярных стержней. По стержням можно перемещать грузы одинаковой массы, благодаря чему можно изменять момент инерции исследуемой системы тел (шкив + стержни + грузы).
На шкив наматывается нить, к концу который крепится груз массой m . Под действием груза система приводится в равноускоренное вращение. Измерив время t падения груза с высоты h , можно определить ускорение его движения:
a = 2t 2h .
Угловое ускорение системе сообщает сила натяжения нити T . Ее можно найти из уравнения динамики поступательного движения груза:
mar = mgr + Tr,
или в проекции
ma = mg − T .
Рис.2.
Откуда T = m(g − a) . Момент этой силы относительно оси вращения M = T r = m(g − a) r . Угловое ускорение системы ε = aτ / r . Так как нить сматывается со шкива без проскальзывания, то
тангенциальное ускорение точек на поверхности шкива |
aτ равно ускорению a опускающегося |
||
груза. Тогда |
|
||
ε = |
2h |
. |
(4) |
|
|||
|
rt 2 |
|
|
Подставив теперь значения a , ε и M в выражение (2), |
получим формулу, с помощью которой |
||
можно экспериментально определить момент инерции маятника Обербека:
4 |
Определение момента инерции крестообразного маятника |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2h |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
M |
|
m(g - a)r rt 2 |
|
m g - |
|
|
r |
|
t |
|
|
m(gt 2 - 2h)r 2 |
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|||||||
I = |
= |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
(5) |
||||
ε |
2h |
|
2h |
|
|
|
|
2h |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Изменяя массу груза m , можно изменить момент силы M и угловое ускорение ε . Подтверждением справедливости основного уравнения динамики вращательного движения (2) должно быть постоянство отношения
Mε = I = const
С помощью маятника Обербека можно определить момент инерции каждого из четырех грузов, закрепленных на стержнях. Поскольку момент инерции системы есть сумма моментов инерции всех элементарных масс, из которых складывается система, момент инерции груза массой mгр :
I гр = (I − I0 ) / 4 , |
(6) |
где I - момент инерции крестовины с грузами, I0 - момент инерции крестовины без грузов.
Лабораторная работа № 105 |
5 |
3.Порядок выполнения работы
1. Включите секундомер кнопкой "Сеть".
2.Снимите все четыре груза с крестовины маятника и перегрузок с опускающегося груза m1 (масса груза m1 и перегрузка ∆m указаны на них).
3.Нажмите кнопку "Пуск". Вращая крестовину, поднимите груз на нити так, чтобы его основание находилось над световым лучом верхнего фотодатчика. Зафиксируйте груз в этом положении, отпустив кнопку "Пуск". Обнулите показания секундомера, нажав на кнопку
"Сброс".
4.Нажмите кнопку "Пуск". После остановки груза запишите показание секундомера t1 в таблицу 1.
5.Отпустите тормоз, нажав кнопку "Сброс", и повторите измерения по пунктам 3 – 5 еще два раза.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
||
N |
r,м |
∆r,м |
|
|
h,м |
∆h,м |
m1= |
|
|
|
m2= |
|
|
|
||||||
п/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1, c |
|
|
∆t1, c |
|
|
t2, c |
|
∆t2, c |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
∆r = |
|
|
= |
∆ |
|
= |
|
|
1 = |
∆ |
|
1 = |
|
|
2 = |
∆ |
|
2 = |
|
|
h |
h |
|
|
t |
t |
|||||||||||||
|
|
|
t |
t |
||||||||||||||||
7.На груз m1 положите дополнительный перегрузок ∆m. Значение m2=m1+∆m запишите в таблицу 1.
8.Повторите измерения по п.п. 3-5 три раза. Данные занесите в таблицу 1. Рассчитайте средние значения t1 и t 2 .
9.С помощью линейки не менее трех раз измерьте высоту падения груза h . Высота падения
равна расстоянию между верхним и нижним фотодатчиками. С помощью штангенциркуля не менее трех раз измерьте радиус шкива r (измеряется диаметр, затем делится пополам).
|
Рассчитайте средние значения |
h |
и |
r |
. Данные занесите в таблицу 1. |
|
||||||||||||||||||||
10. |
По формуле (5) рассчитайте моменты инерции I1 и I2 |
при разных моментах действующих сил: |
||||||||||||||||||||||||
|
I1 = |
m1 (gt |
|
1 2 - 2h |
) |
r |
2 |
, |
I 2 = |
m2 (gt |
|
2 2 - 2h |
) |
r |
2 |
|
, |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2h |
|||||||||||
|
|
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
где g=9,82 м/с2. Сделайте вывод о выполнимости основного закона динамики вращательного |
|||||||||||||||||||||||||
движения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11. |
Найдите среднее значение момента инерции крестовины без грузов I0 |
: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I0 = |
I1 + I 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Поместите грузы на крестовину. Не изменяя момента силы, действующего на крестовину (m2=const), измерьте время падения груза для разных расстояний грузов до оси вращения R. Данные занесите в таблицу 2. Измерения проводить согласно п.п. 1-5.
6 |
Определение момента инерции крестообразного маятника |
|
||||
|
|
|
|
Таблица 2 |
||
№ п/п |
R = 10*10-2м |
R = 15*10-2м |
R= 20 *10-2м |
R= 25*10-2м |
||
t10, c |
t15, c |
t20, c |
t25, c |
|||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
среднее |
|
|
|
|
|
|
13. По формуле (5) рассчитать значения моментов инерции маятника для средних значений времен
|
падения из таблицы 2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
m2 (gt |
|
10 2 - 2h |
) |
|
2 |
|
|
= |
m2 (gt |
|
15 2 |
- |
|
|
) |
|
2 |
|
|
m2 (gt |
|
20 2 |
- |
|
|
) |
|
2 |
|
|
|
m2 (gt |
|
25 2 |
- |
|
|
) |
|
2 |
||
I10 |
|
r |
, |
I15 |
2h |
r |
, I 20 |
= |
|
2h |
r |
, |
I 25 |
= |
|
2h |
r |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2h |
2h |
2h |
2h |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
14. По результатам п. 13 построить график зависимости момента инерции маятника I от расстояния грузов до оси вращения R ( R – расстояние от оси вращения до центра масс груза).
15. Для одного из положений грузов (R = 0,15 м) по формуле (6) определить момент инерции Iгр. одного из грузов:
|
|
|
|
|
|
|
I гр = (I15 − I0 ) / 4 |
|
|
|
|
|
|
||||
16. |
Для того же случая R = 0,15 м рассчитать момент инерции груза Iгр.р. , считая груз |
||||||||||||||||
|
материальной точкой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
I гр.р |
= mгр R2 , |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(масса съемного груза mгр |
выбита на нем). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
17. |
Сравните результаты экспериментального определения момента инерции Iгр. и расчетного Iгр.р. |
||||||||||||||||
|
Сделайте выводы о правильности выбора физической модели. |
|
|
|
|
||||||||||||
18. |
Рассчитайте следующие полные абсолютные погрешности измерений: |
|
|
|
|||||||||||||
|
∆h |
полн |
= ∆h 2 + ∆h2 |
, ∆r |
|
= ∆r 2 + ∆r 2 |
|
, ∆t |
1полн |
= ∆t 2 |
+ ∆t 2 |
, ∆t |
2полн |
= ∆t 2 |
+ ∆t 2 |
||
|
|
приб |
полн |
|
приб |
|
|
1 |
приб |
|
2 |
приб |
|||||
|
где |
∆rприб = 0,05 10−3 м, |
∆hприб |
= 0,5 10−3 м, |
∆tприб |
= 5 10−4 с- |
приборные погрешности |
||||||||||
штангенциркуля, линейки и секундомера.
19. Оцените абсолютные погрешности измерений по формулам:
∆I1 |
= I1 |
( |
∆m |
+ |
2∆rполн |
+ |
|
2∆t1полн |
|
+ |
∆hполн |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
m |
|
|
t1 |
|
|
|
h |
|||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||||||
∆I 2 |
= I2 |
( |
∆m |
+ |
2∆rполн |
+ |
|
2∆t2 |
полн |
+ |
∆hполн |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
m |
|
|
|
t2 |
|
|
|
h |
||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
∆I0 = ∆I1 + ∆I 2 |
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где ∆m = 0,05 10−3 кг, ∆g = 0,005м/ с2 .
+∆gg ) ,
+∆gg ) ,