физика лекцыи_1 / 1.10

1.10. УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Твердое тело как система материальных точек. Движение центра инерции твердого тела. Кинетическая энергия вращающегося тела. Понятие момента инерции относительно неподвижной оси. Теорема Штейнера. Моменты инерции некоторых простейших тел. Уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси.

Движение твердого тела в общем случае определяется двумя векторными уравнениями. Одно из них - уравнение движения центра масс (4.11), другое-уравнение моментов в С-системе (6.24):

     

(10.1)

Зная законы действующих внешних сил, точки их приложения и начальные условия, можно с помощью этих уравнений найти как скорость, так и положение каждой точки твердого тела в любой момент времени, т. е. полностью решить задачу о движении тела. Однако, несмотря на кажущуюся простоту уравнений (10.1), решение их в общем случае представляет собой весьма трудную задачу. Это прежде всего обусловлено тем обстоятельством, что связь между собственным моментом импульса и скоростями отдельных точек твердого тела в С-системе оказывается сложной, за исключением немногих частных случаев. Мы не будем рассматривать эту задачу в общем виде (она решается в курсе теоретической механики) и ограничимся в дальнейшем только отдельными частными случаями.

     

Если перенести силы вдоль направления их действия, то ясно, что не изменятся ни их результирующая , ни их суммарный момент . При этом уравнения (10.1) тоже не изменятся, а следовательно не изменится и движение твердого тела. Поэтому точки приложения внешних сил можно переносить вдоль направления действия сил - удобный прием решения задач, которым постоянно пользуются.

     

Рассмотрим теперь понятие равнодействующей силы. В тех случаях, когда суммарный момент всех внешних сил оказывается перпендикулярным результирующей силе, т. е. , все внешние силы могут быть сведены к одной силе , действующей вдоль определенной прямой. В самом деле, если относительно некоторой точки О суммарный момент , то всегда можно найти такой вектор (рис. 10.1), что при заданных и

     

     При этом выбор неоднозначен: прибавление к нему любого вектора ,

Рис. 10.1. Введение понятия равнодействующей силы

параллельного , не изменит последнего равенства. А это означает, что данное равенство определяет не точку "приложения" силы , а линию ее действия. Зная модули M и F соответствующих векторов, можно найти плечо l силы (рис.6.14): .

     

Таким образом, если , систему сил, действующих на отдельные точки твердого тела, можно заменить одной равнодействующей силой - силой, которая равна результирующей и создает момент, равный суммарному моменту всех внешних сил.

     

Таким случаем является действие однородного силового поля, например поля тяжести, в котором действующая на каждую частицу сила имеет вид . В этом случае суммарный момент сил тяжести относительно любой точки О равен

     

Стоящая в круглых скобках сумма, равна где масса тела радиус-вектор его центра масс относительно точки O. Поэтому

     

Это означает, что равнодействующая сил тяжести проходит через центр масс тела. Обычно говорят, что равнодействующая сил тяжести приложена к центру масс тела или к его центру тяжести. Момент этой силы относительно центра масс тела равен нулю.

     

Теперь перейдем к рассмотрению частных случаев движения твердого тела.

     Вращение вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Найдем выражение для момента импульса твердого тела относительно оси 00' (рис. 6.15). Момент импульса частицы можно записать в виде     

где и - масса и расстояние от оси вращения частицы твердого тела, - его угловая скорость. Обозначив величину, стоящую в круглых скобках, через I, получим     

(10.2)

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки на квадрат кратчайшего расстояния от оси.

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.     

	(10.3)
Рис. 10.2. Вращение твердого тела вокруг оси

Момент инерции твердого тела зависит от распределения масс относительно интересующей нас оси и является величиной аддитивной.  Вычисление момента инерции тела проводится по формуле

     

     

где dm и dV - масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии от интересующей нас оси z, - плотность тела в данной точке.

    

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси, проходящей через центр масс тела, приведены в следующей таблице (здесь т - масса тела):

Вид твердого тела	Положение оси	Момент инерции
Тонкий стержень длины L	Перпендикулярно стержню
Сплошной цилиндр радиуса R	Совпадает с осью цилиндра
Тонкий диск радиуса R	Совпадает с диаметром диска
Шар радиуса R	Проходит через центр шара

     

Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы относительно той или иной оси представляет собой, вообще говоря, довольно кропотливую в математическом отношении задачу. Однако в некоторых случаях нахождение момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси z равен моменту инерции относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы т тела нa квадрат расстояния а между осями:

     

(10.4)

Таким образом, если известен момент инерции то нахождение момента инерции I элементарно. Например, момент инерции тонкого стержня (массы т и длины l) относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец, равен

     

     

Кинетическая энергия вращательного движения — энергия тела, связанная с его вращением. Получим выражение для кинетической энергии вращающегося твердого тела с неподвижной осью вращения. Учитывая связь скорости частицы вращающегося твердого тела с угловой скоростью запишем

     

,

 или, более коротко    

,

(10.5)

где I - момент инерции тела относительно оси вращения, - его угловая скорость.

Запишем выражение для кинетической энергии твердого тела при плоском движении, когда тело участвует как во вращетельном, так и в поступательном движении. В этом случае      

(10.6)

 где - момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через его центр масс, -угловая скорость тела, т - его масса, - скорость центра инерции тела в K-системе отсчета.    Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из энергии вращения в С-системе и энергии, связанной с движением центра масс.

Запишем основное уравнение динамики вращения твердого тела с неподвижной осью вращения. Это уравнение легко получить, как следствие как следствие уравнения моментов для материальной точки, если продифференцировать (10.2) по времени, тогда

     

(10.7)

 где - суммарный момент всех внешних сил относительно оси вращения, проекция углового ускорения на ось вращения. Из этого уравнения, в частности, видно, что момент инерции I определяет инерционные свойства твердого тела при вращении: при одном и том же значении момента сил тело с большим моментом инерции приобретает меньшее угловое ускорение. Моменты сил относительно оси - величины алгебраические: их знаки зависят как от выбора положительного направления оси z, совпадающей с осью вращения, так и от направления

Рис. 10.3. Выбор положительного направления вращения (правый винт)

 

"вращения" соответствующего момента силы. Например, выбрав положительное направление оси z, как показано на рис. 10.3, мы тем самым задаем и положительное направление отсчета угла - оба эти направления связаны правилом правого винта. Полагают, что если некоторый момент "вращает" в положительном направлении угла, то он считается положительным, и наоборот. А знак суммарного момента в свою очередь определяет знак - проекции вектора углового ускорения на ось z.

     

Интегрирование уравнения (10.7) с учетом начальных условий -значений угловой скорости и угла и начальный момент времени - позволяет полностью решить задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, т. е. найти зависимость от времени угловой скорости и угла поворота.

     

Заметим, что уравнение (10.7) справедливо в любой системе отсчета, жестко связанной с осью вращения. Однако если система отсчета неинерциальная, то необходимо помнить, что момент сил включает в себя не только моменты сил взаимодействия с другими телами, но и моменты сил инерции.

     

6