физика лекцыи_1 / 1

1.4. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Понятие момента силы. Понятие момента импульса. Уравнение моментов для материальной точки и системы материальных точек. Закон сохранения момента импульса для системы материальных точек. Закон сохранения момента импульса для случая поля центральных сил.

Анализ поведения систем показывает, что кроме импульса существует еще одна механическая величина, с которой также связан закон сохранения,- это так называемый момент импульса. Используют также названия момент количества движения, вращательный момент, угловой момент, или просто момент.

 Возьмем одну частицу. Пусть - радиус-вектор, характеризующий ее положение относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета, а - ее импульс в этой системе. Моментом импульса частицы А относительно точки O (рис. 4.1) называют вектор , равный векторному произведению векторов и :

     

	(4.1.)
Рис. 4.1. Определение вектора момента импульса

Из этого определения следует, что является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг точки O в направлении вектора образуют правовинтовую систему. Модуль вектора равен

     

,

(4.2)

     где - угол между векторами и плечо вектора относительно точки О (рис. 4.1).

Выведем уравнение, описывающее изменение во времени вектора . Его называют уравнением моментов. Для вывода необходимо выяснить - какая механическая величина ответственна за изменение вектора в данной

     системе отсчета. Продифференцируем уравнение (4.1) по времени:

     

Так как точка O неподвижна, то вектор равен скорости частицы, т. е. совпадает по направлению с вектоpом , поэтому

     

Используя второй закон Ньютона, получим где равнодействующая всех сил, приложенных к частице. Следовательно,

     

Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют моментом силы относительно точки О (рис. 6.2). Обозначив ее буквой , запишем

     

Рис. 4.2. Определение вектора момента cилы

     Вектор как и , является аксиальным. Модуль этого вектора, аналогично (4.2), равен

     

(4.4)

где плечо вектора относительно точки O (рис. 4.2). Итак, производная по времени от момента импульса частицы относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета равна моменту равнодействующей силы относительно той же точки O:

     

(4.5)

 Это уравнение называют уравнением моментов.

Из уравнения моментов (4.5), в частности, следует, что если то . Другими словами, если относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета момент всех сил, действующих на частицу, равен нулю в течение интересующего нас промежутка времени, то относительно этой точки момент импульса частицы остается постоянным в течение этого времени.

Уравнение моментов (4.5) позволяет получить ответ на два вопроса:

     1) найти момент силы относительно интересующей нас точки O в любой момент времени t, если известна зависимость от времени момента импульса частицы относительно той же точки;

     2) определить приращение момента импульса частицы относительно точки O за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы , действующего на эту частицу относительно той же точки O.

Решение первого вопроса сводится к нахождению производной по времени от момента импульса, т. е. , которая и равна, согласно (4.5), искомому моменту силы .

     Решение же второго вопроса сводится к интегрированию уравнения (4.5). Умножив обе части этого уравнения на dt, получим - выражение, которое определяет элементарное приращение вектора . Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение вектора за конечный промежуток времени t:

     

(6.6)

     Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют импульсом момента силы. В итоге получено следующее утверждение: приращение момента импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу момента силы за это же время.

Рассмотрим произвольную систему частиц. Введем понятие момента импульса данной системы как векторную сумму моментов импульсов ее отдельных частиц:

     

,

(4.7)

где все векторы определены относительно одной и той же точки O выбранной инерциальной системы отсчета. Заметим, что момент импульса системы - величина аддитивная. Это означает, что момент импульса системы равен сумме моментов импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.

Выясним, какая величина определяет изменение момента импульса системы. Для этого продифференцируем (4.7) по времени:

     

В предыдущем параграфе было показано, что производная равна моменту всех сил, действующих на частицу. Приравняем эту производную сумме моментов внутренних и внешних сил, т. е. . Тогда

     

Здесь первая сумма - это суммарный момент всех внутренних сил относительно точки O, вторая сумма - суммарный момент всех внешних сил относительно той же точки O.

Покажем, что суммарный момент всех внутренних сил относительно любой точки равен нулю. По определению, внутренние силы - это силы взаимодействия между частицами данной системы. По третьему закону Ньютона, эти силы попарно одинаковы по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой, т. е. имеют одинаковое плечо. Поэтому моменты сил каждой пары взаимодействия равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. уравновешивают друг друга, и, значит, суммарный момент всех внутренних сил всегда равен нулю.

     

В результате последнее уравнение принимает вид

     

,

(4.8)

 где суммарный момент всех внешних сил.

     

Уравнение (4.8) утверждает: производная момента импульса системы по времени равна суммарному моменту всех внешних сил. Разумеется, оба момента, и , здесь определены относительно одной и той же точки O инерциальной системы отсчета.

     

Как и в случае одной частицы, из уравнения (4.8) следует, что приращение момента импульса системы за конечный промежуток времени

     

(4.9)

т. е. приращение момента импульса системы равно импульсу суммарного момента всех внешних сил за соответствующий промежуток времени. И здесь, конечно, оба момента, и , определены относительно одной и той же точки О выбранной системы отсчета.

     

В итоге получен важный вывод: согласно уравнению (4.9), момент импульса системы может изменяться только под действием суммарного момента всех внешних сил. Отсюда непосредственно вытекает и другой важный вывод - закон сохранения момента импульса: в инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, т.е, не меняется со временем. Причем это справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета.

     

Таким образом, в инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц

     

При этом моменты импульса отдельных частей или частиц замкнутой системы могут изменяться со временем, что и подчеркнуто в последнем выражении. Однако эти изменения всегда происходят так, что приращение момента импульса одной части системы равно убыли момента импульса ее другой части (конечно, относительно одной и той же точки системы отсчета).

Особый интерес представляют случаи, когда момент импульса сохраняется для незамкнутых систем, у которых, как известно, импульс меняется со временем. Если относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета, суммарный момент внешних сил в течение интересующего нас промежутка времени, то, согласно (4.9), момент импульса системы относительно точки O сохраняется за это время. В незамкнутых системах такой точки, вообще говоря, может и не быть, что следует прежде всего выяснить для каждой конкретной задачи.

Если на материальную точку действует сила вида , то говорят, что материальная точка находится в поле центральных сил, если начало координат совпадает с центром сил. Момент  центра сил  относительно центра сил  равен 0, следовательно, движение в центральном поле момент импульса материальной точки остается постоянным.

В более ограниченном случае у незамкнутых систем может сохраняться не сам момент импульса , а его проекция на некоторую неподвижную ось z. Это бывает тогда, когда проекция суммарного момента всех внешних сил на эту ось z равна нулю. В самом деле, спроектировав уравнение (4.9) на ось z, получим

     

(4.10)

Здесьи - момент импульса, и суммарный момент внешних сил относительно оси z:

     

(4.11)

где и - момент импульса и момент внешних сил относительно оси z для частицы системы.

Из уравнения (4.10) следует, что если относительно некоторой неподвижной в данной системе отсчета оси z проекция то момент импульса системы относительно этой оси сохраняется:

     

(4.12)

При этом сам вектор , определенный относительно произвольной точки O на этой оси, может меняться. Например, если система движется в однородном поле тяжести, то суммарный момент всех сил тяжести относительно любой неподвижной точки О перпендикулярен вертикали, а значит, относительно любой вертикальной оси и чего нельзя сказать о векторе .

До сих пор при выводе закона сохранения момента импульса мы опирались на справедливость законов Ньютона. А как обстоит дело в системах, не подчиняющихся этим законам, например в системах с электромагнитным излучением, в атомах, ядрах и др.? 

Учитывая громадную роль, которую играет закон сохранения момента импульса в механике, в физике понятие момента импульса расширяют на немеханические системы, которые не подчиняются законам Ньютона, н постулируют закон сохранения момента импульса для всех физических процессов.

Такой расширенный закон сохранения момента импульса уже не является следствием законов Ньютона, а представляет собой самостоятельный общий принцип, являющийся обобщением опытных фактов. Наряду с законами сохранения энергии и импульса закон сохранения момента импульса является одним из важнейших фундаментальных законов природы.

7