физика лекцыи_1 / 1.24

1.24. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ ВОЛН В МЕХАНИКЕ

Принцип суперпозиции волн и границы его применимости. Когерентность волн. Интерференция синусоидальных волн. Стоячая волна. Волновой пакет и его распространение. Распространение волн в средах с дисперсией. Групповая скорость и ее связь с фазовой скоростью. Нормальная и аномальная дисперсия. Солитоны.

Принцип суперпозиции упругих волн: если две волны являются решением волнового уравнения, то решением является и их линейная комбинация.

Принцип суперпозиции (наложения) волн установлен на опыте. Он состоит в том, что в линейной среде волны от разных источников распространяются независимо, и накладываясь, не изменяют друг друга. Результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые частица получит, участвуя в каждом из слагаемых волновых процессов.

Когерентностью называется согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов.

Когерентность выражается в постоянстве или закономерной связи между фазами, частотами, направлениями колебаний и амплитудами этих волн. Волны когерентны, если:

1. их частоты одинаковы,

2. разность их начальных фаз постоянна и не зависит от времени

3. угол между направлениями направлениями колебаний частиц в волне остается постоянным.

Мы будем рассматривать частный случай, когда частиц в волне происходит в одной плоскости: .

Интерференция волн. Стоячие волны.

Интерференцией волн называется явление наложения двух или более когерентных волн, при котором происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

В пространстве всегда найдутся такие точки, в которых разность фаз складываемых колебаний равна величине , где k – целое число, т.е. волны (от разных источников) приходят в такие точки в одной фазе. В них будет наблюдаться устойчивое, неизменно продолжающееся все время усиление колебаний частиц.

Найдутся в пространстве, где распространяется несколько волн, и такие точки, где разность фаз будет равна , т.е. волны приходят в эти точки в противофазе. В таких точках пространства будет наблюдаться устойчивое ослабление колебаний частиц.

Устойчивая интерференционная картина возникает только при наложении таких волн, которые имеют одинаковую частоту, постоянную во времени разность фаз в каждой точке пространства. Волны, удовлетворяющие этим условиям и источники, создающие такие волны, как уже говорилось называются когерентными. Плоские синусоидальные волны, частоты которых одинаковы, когерентны всегда.

Запишем условия максимумов и минимумов при интерференции. Когерентные точечные источники и испускают волны по всем направлениям. До точки наблюдения М расстояние от первого источника , а от второго - .

Колебания точки М под действием волн от двух источников и описываются уравнениями:

, .

Амплитуда результирующего колебания в точке М определится следующим образом (см. раздел “Сложение колебаний”):

. (24.1)

Амплитуда колебаний точки М максимальна (), если

, где (24.2)

Величина называется разностью хода двух волн.

Условие максимума при интерференции имеет вид:

. (24.3)

Если целое число волн укладывается на разности хода двух волн, то при их сложении наблюдается интерференционный максимум.

Амплитуда колебаний точки М минимальна (), если

, (). (24.4)

Условие минимума при интерференции имеет вид:

. (24.5)

Если нечетное число полуволн укладывается на разности хода двух волн, то при их сложении наблюдается интерференционный минимум.

Стоячая волна

Простейший случай интерференции наблюдается при наложении бегущей и отраженной волн, что приводит к образованию стоячей волны. При распространении стоячей волны переноса энергии не происходит.

Уравнения бегущей и отраженной волны имеют вид:

,

Суммарное смещение частицы среды, находящейся на расстоянии y от источника колебаний, равно сумме смещений и :

. (24.6)

Это и есть уравнение стоячей волны. Величина - амплитуда, а () - фаза стоячей волны. Можно сказать, что частицы в стоячей волне имеют одну фазу колебаний. Амплитуда колебаний частиц в стоячей волне зависит от их координат (расстояний до источника колебаний), но не зависит от времени. Знак модуля поставлен в формуле для амплитуды стоячей волны, потому что амплитуда – величина положительная.

В стоячей волне есть точки, которые все время остаются неподвижными. Такие точки называются узлами смещения, их положение определяется из условия:, отсюда следует . Выполнение этого соотношения будет при условии для Итак, координаты узлов задаются формулой:

. (24.7)

Расстояние между двумя соседними узлами равно .

Точки среды, колеблющиеся с наибольшей амплитудой, называются пучностями стоячей волны, их положение (координаты) определяются соотношением:

. (24.8)

Это уравнение можно получить из условия максимума амплитуды

, т.е. . Последнее соотношение выполняется при значениях аргумента ().

Расстояние между двумя соседними пучностями равно .

Изменение фазы волны при ее отражении.

Как отмечалось ранее, стоячая волна образуется при сложении бегущей и отраженной волн. Отраженную волну можно рассматривать как бегущую волну, распространяющуюся в обратном направлении и ее можно получить при отражении бегущей волны от границы двух сред. Для синусоидальных волн это означает, что при отражении от более плотной среды фаза волны скачком изменяется на радиан, а при отражении от менее плотной среды фаза волны не изменяется. Изменение фазы на радиан соответствует появлению дополнительного хода волны, равного .

Групповая скорость.

Согласно принципу суперпозиции накладываться друг на друга без взаимного искажения могут волны любой формы. В результате наложения волн результирующее колебание каждой частицы среды может происходить по любому сложному закону. Такое образование волн называется волновым пакетом.

Волновой пакет — это суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства. Чем меньше ширина пакета ∆x, тем больший интервал частот ∆ω или соответственно больший интервал волновых чисел ∆k требуется для того, чтобы описать пакет. ∆k*∆x=2π

Скорость движения волнового пакета не совпадает со скоростью ни с одной из слагаемых волн. В этом случае говорят о скорости u волнового пакета. Скорость перемещения максимума группы волн (волнового пакета) называется групповой скоростью. Она равна скорости переноса энергии волнового пакета.

Напомним что скорость v в уравнении распространяющейся волны является фазовой скоростью, т.е. она показывает, с какой скоростью распространяется фаза волны (скорость перемещения фазы).

В волновом пакете в каждый момент времена можно найти точку, в которой наблюдается максимум колебаний, возникающих в результате наложения этих волн. В этой точке фаза любой группы волн будет одинаковой. Эта точка называется центром группы волн. Положение центра группы волн со временем изменяется. Этой точке соответствует максимум энергии колеблющейся группы волн. Энергия колеблющейся группы волн переносится со скоростью, равной скорости перемещения центра группы волн. Эту скорость и называют групповой скорстью.

Чтобы найти связь между групповой и фазовой скоростями воспользуемся тем, что в центре группы волн фазы всех волн одинаковы. Групповая скорость равна

(24.9)

Дисперсия волн -зависимость скорости распространения волн в среде от длины волны.

В зависимости от знака групповая скорость u может быть меньше или больше фазовой скорости v. В отсутствии дисперсии и групповая скорость совпадает с фазовой. Если больше нуля, то такой случай соответствует нормальной дисперсии волн. Если меньше нуля, то такая дисперсия называется аномальной.

Солитон — структурно устойчивая уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде. Солитоны ведут себя подобно частицам (частицеподобная волна): при взаимодействии друг с другом или с некоторыми другими возмущениями они не разрушаются, а двигаются, сохраняя свою структуру неизменной. Это свойство может использоваться для передачи данных на большие расстояния без помех.

Солитон – уединенная структурно устойчивая волна со свойствами частицы, был открыт еще в первой половине ХIХ века и поначалу не привлек к себе особенного внимания. Теперь становится все более очевидным, что теория солитона является основой для изучения не только многих процессов “макромира”, но и для исследования материи на уровне элементарных частиц. Дело не только в том, что солитоны обладают очень необычными свойствами волны и частицы одновременно (сохраняют свою форму при распространении и даже после столкновения друг с другом). Оказалось также, что описание физических процессов, лежащих в основе этого очень красивого и необычного явления, требует использования специфических нелинейных уравнений. Поэтому солитоны дали начало развитию целого направления прикладной математики, посвященного многочисленным и разнообразным проявлениям этих нелинейных процессов.

История изучения солитона началась в августе 1834 года на берегу канала Юнион вблизи Эдинбурга. Джон Скотт Рассел наблюдал на поверхности воды явление, которое он назвал уединённой волной — «solitary wave».

Впервые понятие солитона было введено для описания нелинейных волн, взаимодействующих как частицы.

Солитоны бывают различной природы:

• на поверхности жидкости (первые солитоны, обнаруженные в природе), иногда считают таковыми волны цунами и бор

• ионозвуковые и магнитозвуковые солитоны в плазме

• гравитационные солитоны в слоистой жидкости

• солитоны в виде коротких световых импульсов в активной среде лазера

• можно рассматривать в виде солитонов нервные импульсы

Наибольшим “откровением” при описании физического механизма, например, самого первого открытого Расселом в 1834 году солитона (на поверхности воды) является указание на равновесие двух противоборствующих факторов: уединенные волны образуются, когда эффекты нелинейности, делающие волну круче, уравновешиваются эффектами дисперсии, стремящимися сделать ее положе (т. е. “размывают” ее).

Здесь следует, тем не менее, подчеркнуть одно чрезвычайно важное свойство, общее для всех солитонов. Приходя в то или иное место, солитон меняет среду (насыщает ее каким-то видом энергии), но покидая это место, он возвращает все в исходное состояние. Впрочем, и это не вся “правда”. Дело в том, что оставляя неизменной среду, солитон, тем не менее, производит важные изменения в окружающем пространстве. Иногда это проявляется в фазовых соотношениях, но чаще – это ощутимые “материальные” изменения. На воде – он “тащит” с собой соответствующий объем воды (перемещение в твердом теле в виде дислокации, или в виде петли на струне, также приводит к перемещению вещества). При этом солитон сначала насыщает среду энергией, а покидая это место, забирает энергию и “приводит все в порядок”.

В литературе о солитонах обычно не упоминают об одиночной волне, которую можно “пустить” вдоль самой обычной веревки, растянутой на земле. Этот пример, в принципе, может быть примером солитона.

Рис. 24.1.

Одиночная волна, бегущая вдоль веревки, лежащей на земле.

Итак, “любой желающий” может в самых простых условиях получить одиночную волну. Она возникает и движется вдоль самой обычной веревки, лежащей на земле, если конец ее быстрым движением поднять и тут же опустить. Бегущая одиночная волна (рис. 24.1) сохраняет достаточно долго свою форму (похоже, что если бы не потери и конечная длина веревки, то бегущий “горб” мог бы существовать неопределенно долго). Волна в виде такого “бугра”, весьма напоминающая структурно устойчивую уединенную волну – солитон, несмотря на кажущуюся простоту, математически описывается довольно сложно.

Известно, что солитоны по-настоящему проявляют себя в развитии во времени и во взаимодействиях друг с другом. Это чрезвычайно важное свойство отражено в “солитонных” уравнениях, содержащих временную зависимость. Одновременно это дает возможность математического моделирования такого рода процессов, что необходимо для идентификации и изучения солитонов.

Вместе с тем, солитоны являются наиболее устойчивыми физическими объектами, очень медленно меняющимися во времени. Фактически, исключив развитие во времени, можно рассматривать процессы, приводящие к появлению солитонов как стационарные.

Принято считать, что солитоны возникают в нелинейных средах. И это во многих случаях действительно так. Однако бывают и не столь очевидные случаи. Какие нелинейности ответственны за образование солитонов на мелкой воде? Фактически солитон сам создает эти нелинейности! Вода является однородной изотропной несжимаемой и не слишком вязкой средой. Только солитон, “организуя” особым образом взаимодействие потенциальной и кинетической энергии, делает эту среду “нелинейной”. В результате эта сложная динамическая система переходит в особое устойчивое состояние.

Чем определяется возникновение солитона? Этот самоподдерживающийся процесс оказывается “жизнеспособным” в первую очередь потому, что он “состоятелен” с энергетической точки зрения, а “нелинейности” порождаются самим физическим явлением и ему соответствуют, а не наоборот. Ведь движение воды может принимать множество других форм (в том числе, вихревое движение), при которых возникают совершенно другие “нелинейности”.

Точно так же, как и в случае солитона на воде, можно задаться вопросом, какие “нелинейности” содержит в себе веревка как “среда” для распространения волнового процесса? Очевидно, что веревка как таковая такими нелинейностями не обладает. Все зависит от того, в каких условиях (например, разложена ли веревка на земле, или натянута между двумя опорами) и какие процессы инициированы в этой “среде”. И только тогда возникают соответствующие нелинейности “под развивающийся процесс”. То есть, одно нельзя отделять от другого. Они не существуют друг без друга! В рассмотренном нами варианте одиночной волны на веревке, реальной физической причиной стабильности процесса было создаваемое им же монотонное уменьшение натяжения веревки от центра волны к периферии.

Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза:

Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон:

где — амплитуда солитона, — фаза. Эффективная ширина основания солитона равна . Такой солитон движется со скоростью . Видно, что солитоны с большой амплитудой оказываются более узкими и движутся быстрее.

Солитоны могут быть также двумерными и трехмерными. Изучение неодномерных солитонов осложнялось трудностями доказательства их устойчивости, однако в последнее время получены экспериментальные наблюдения неодномерных солитонов (например, подковообразные солитоны на пленке стекающей вязкой жидкости, изучавшиеся В.И.Петвиашвили и О.Ю.Цвелодубом). Двумерные солитонные решения имеет уравнение Кадомцева – Петвиашвили, используемое, например, для описания акустических (звуковых) волн:

.

Среди известных решений этого уравнения – нерасплывающиеся вихри или солитоны-вихри (вихревым является течение среды, при котором ее частицы имеют угловую скорость вращения относительно некоторой оси). Солитоны такого рода, найденные теоретически и смоделированные в лаборатории, могут самопроизвольно возникать в атмосферах планет. По своим свойствам и условиям существования солитон-вихрь подобен замечательной особенности атмосферы Юпитера – Большому Красному Пятну.

9