физика лекцыи_1 / 1

1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Понятие материальной точки. Траектория. Путь и перемещение. Система отсчета. Скорость и ускорение при криволинейном движении. Нормальное и тангенциальное ускорения. Классификация механических движений.

Предмет механики. Механикой называют раздел физики, посвященный изучению закономерностей простейшей формы движения материи - механического движения.

Механика состоит из трех подразделов: кинематики, динамики и статики.

Кинематика изучает движение тел без учета причин, его вызывающих. Она оперирует такими величинами как перемещение, пройденный путь, время, скорость движения и ускорение.

Динамика исследует законы и причины, вызывающие движение тел, т.е. изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил. К кинематическим величинам добавляются величины - сила и масса.

В статике исследуют условия равновесия системы тел.

Механи́ческим движе́нием тела называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Материальная точка — тело, размерами и формой которого можно пренебречь в данных условиях движения, считая массу тела сосредоточенной в данной точке. Модель материальной точки – простейшая модель движения тела в физике. Тело можно считать материальной точкой, когда его размеры много меньше характерных расстояний в задаче.

Для описания механического движения необходимо указать тело, относительно которого рассматривается движение. Произвольно выбранное неподвижное тело, по отношению к которому рассматривается движение данного тела, называется телом отсчета.

Система отсчета — тело отсчета вместе со связанными с ним системой координат и часами.

Рассмотрим движение материальной точки М в прямоугольной системе координат, поместив начало координат в точку О.

Положение точки М относительно системы отсчета можно задать не только с помощью трех декартовых координат , но также с помощью одной векторной величины - радиуса-вектора точки М, проведенного в эту точку из начала системы координат (рис. 1.1). Если - единичные вектора (орты) осей прямоугольной декартовой системы координат, то

(1.1)

При движении материальной точки М ее координаты и радиус-вектор изменяются с течением времени t.

Поэтому для задания закона движения м.т. необходимо указать либо вид функциональной зависимости всех трех ее координат от времени:

(1.2)

либо зависимость от времени радиус-вектора этой точки

(1.3)

Три скалярных уравнения (1.2) или эквивалентное им одно векторное уравнение (1.3) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Траекторией материальной точки называется линия, описываемая пространстве этой точкой при ее движении (геометрическое место концов радиуса-вектора частицы). В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения точки. Если все участки траектории точки лежат в одной плоскости, то движение точки называют плоским.

Уравнения (1.2) и (1.3) задают траекторию точки в так называемой параметрической форме. Роль параметра играет время t. Решая эти уравнения совместно и исключая из них время t, найдем уравнение траектории.

Длиной пути материальной точки называют сумму длин всех участков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый промежуток времени.

Вектором перемещения материальной точки называется вектор, соединяющий начальное и конечное положение материальной точки, т.е. приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени

(1.4)

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории. Из того, что перемещение является вектором, следует подтверждающийся на опыте закон независимости движений: если материальная точка участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме ее перемещений, совершаемых ею за тоже время в каждом из движений порознь

Для характеристики движения материальной точки вводят векторную физическую величину - скорость, величину, определяющую как быстроту движения, так и направление движения в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории МN так, что в момент времени t она находится в т.М, а в момент времени в т. N. Радиус-векторы точек М и N соответственно равны , а длина дуги МN равна (рис. 1.3).

Вектором средней скорости точки в интервале времени от t до t+Δt называют отношение приращения радиуса-вектора точки за этот промежуток времени к его величине :

(1.5)

Вектор средней скорости направлен также, как вектор перемещения т.е. вдоль хорды МN.

Мгновенная скорость или скорость в данный момент времени. Если в выражении (1.5) перейти к пределу, устремляя к нулю, то мы получим выражение для вектора скорости м.т. в момент времени t прохождения ее через т.М траектории.

(1.6)

В процессе уменьшения величины точка N приближается к т.М, и хорда МN, поворачиваясь вокруг т.М, в пределе совпадает по направлению с касательной к траектории в точке М. Поэтому вектор и скорость v движущейся точки направлены по касательной траектории в сторону движения. Вектор скорости v материальной точки можно разложить на три составляющие, направленные вдоль осей прямоугольной декартовой системы координат.

(1.7)

где - проекции вектора скорости на оси координат х, у, z.

Подставляя в (1.6) значения для радиус-вектора материальной точки (1.1) и выполнив почленное дифференцирование, получим:

(1.8)

Из сопоставления выражений (1.7) и (1.8) следует, что проекции скорости материальной точки на оси прямоугольной декартовой системы координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки:

(1.9)

Поэтому численное значение скорости:

(1.10)

Движение, при котором направление скорости материальной точки не изменяется, называется прямолинейным. Если численное значение мгновенной скорости точки остается во время движения неизменным, то такое движение называется равномерным.

Если же за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной длины, то численное значение ее мгновенной скорости с течением времени изменяется. Такое движение называют неравномерным.

В этом случае часто пользуются скалярной величиной , называемой средней путевой скоростью неравномерного движения на данном участке траектории. Она равна численному значению скорости такого равномерного движения, при котором на прохождение пути затрачивается то же время , что и при заданном неравномерном движении:

(1.11)

Т.к. только в случае прямолинейного движения с неизменной по направлению скоростью, то в общем случае:

.

Величину пройденного точкой пути можно представить графически пло­щадью фигуры ограниченной кривой v = f (t), прямыми t = t₁ и t = t₁ и осью времени на графике скорости.

Закон сложения скоростей. Если материальная точка одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещения в соответствии с законом независимости движения, равно векторной (геометрической) сумме элементарных перемещений, обусловленных каждым из этих движений в отдельности:

В соответствии с определением (1.6):

(1.12)

Таким образом, скорость результирующего движения равна геометрической сумме скоростей всех движений, в которых участвует материальная точка, (это положение носит название закона сложения скоростей).

При движении точки мгновенная скорость может меняться как по величине, так и по направлению. Ускорение характеризует быстроту изменения модуля и направления вектора скорости, т.е. изменение величины вектора скорости за единицу времени.

Вектор среднего ускорения. Отношение приращения скорости к промежутку времени , в течение которого произошло это приращение, выражает среднее ускорение:

Вектор, среднего ускорения совпадает по направлению с вектором .

Ускорение, или мгновенное ускорение равно пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени к нулю:

(1.13)

В проекциях на соответствующие координаты оси:

или

(1.14)

При прямолинейном движении векторы скорости и ускорения совпадают с направлением траектории. Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной плоской траектории. Вектор скорости в любой точке траектории направлен по касательной к ней. Допустим, что в т.М траектории скорость была , а в т.М₁ стала . При этом считаем, что промежуток времени при переходе точки на пути из М в М₁ настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь. Для того, чтобы найти вектор изменения скорости , необходимо определить векторную разность:

Для этого перенесем параллельно самому себе, совмещая его начало с точкой М. Разность двух векторов равна вектору, соединяющему их концы равна стороне АС МАС, построенного на векторах скоростей, как на сторонах. Разложим вектор на две составляющих АВ и АД, и обе соответственно через и . Таким образом вектор изменения скорости равен векторной сумме двух векторов:

Таким образом, ускорение материальной точки можно представить как векторную сумму нормального и тангенциального ускорений этой точки

По определению:

(1.15)

Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости движения по численному значению и направлена по касательной к траектории.

Следовательно,

(1.16)

где  - путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент. Вектор тангенциального ускорения направлен по касательной к траектории движения тела.

Если использовать для единичного касательного вектора обозначение , то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Вычислим вектор:

Для этого проведем перпендикуляр через точки М и М1 к касательным к траектории (рис. 1.4) Точку пересечения обозначим через О. При достаточно малом участок криволинейной траектории можно считать частью окружности радиуса R. Треугольники МОМ1 и МВС подобны, потому, что являются равнобедренными треугольниками с одинаковыми углами при вершинах. Поэтому:

или

Но , тогда:

Переходя к пределу при и учитывая, что при этом , находим:

,

(1.17)

Так как при угол , направление этого ускорения совпадает с направлением нормали к скорости , т.е. вектор ускорения перпендикулярен . Поэтому это ускорение часто называют центростремительным.

Нормальное ускорение (центростремительное) направлено по нормали к траектории к центру ее кривизны O и характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки.

Полное ускорение определяется векторной суммой тангенциального нормального ускорений (1.15). Так как векторы этих ускорений взаимноперпендикулярны, то модуль полного ускорения равен:

(1.18)

Направление полного ускорения определяется углом между векторам и :

Классификация движений.

Для классификаций движений воспользуемся формулой для определения полного ускорения

Предположим, что

1)

Следовательно, Это случай равномерного прямолинейного движения.

Но

2) Следовательно

Это случай равномерного движения. В этом случае

При v₀ = 0 v_t = at – скорость равноускоренного движения без начальной скорости.

4)

Криволинейное движение с постоянной скоростью.

11