1.13. Гидродинамика вязкой жидкости

Понятие вязкости. Сила внутреннего трения. Ламинарное и турбулентное течение жидкости. Число Рейнольдса. Определение вязкости методом Стокса, методом Пуазейля. Движение тел в жидкостях и газах. Методы подобия в физике.

Идеальная жидкость является физической моделью, позволяющей понять суть явления в некотором приближении. Всем реальным жидкостям присущи вязкость или внутреннее трение, что приводит к появлению у них принципиально новых свойств. В частности, возникшее в жидкости движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно замедляется. Следовательно, жидкость при своем движении в трубе испытывает сопротивление. Такого рода сопротивление называют вязким, подчеркивая тем самым отличие от сопротивления в твердых телах. Вязкость — это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев.

В твердых телах в случае попытки изменения их формы (например, при сдвиге одной части тела относительно другой) возникает сила упругой деформации сдвига, пропорциональная смещению атомов, находящихся в узлах кристаллической решетки соседних атомных слоев. В жидкости эта сила пропорциональна величине изменения скорости, наблюдающейся при переходе между соседними слоями взаимодействующих молекул. Рассмотрим следующий опыт. Расположим жидкость между двумя твердыми параллельными пластинами равной площади S, находящимися на расстоянии d. Попытаемся сдвинуть одну из пластин относительно другой. Опыт показывает, что для поддержания постоянной относительной скорости движения этих пластин  к одной из них нужно приложить постоянную силу F, направленную вдоль поверхности пластины и пропорциональную площади пластины S.

|F| = η·||·S/d, (13.1)

где η - постоянная для данной жидкости величина, называемая вязкостью.

Необходимость наличия такой силы обусловлена “прилипанием” приграничных молекул жидкости к пластинам, что в свою очередь вызывает движение молекул, находящихся в объеме жидкости, с разной скоростью. Величина силы F зависит от свойств жидкости и обусловлена взаимодействием между проскальзывающими относительно друг друга слоями жидкости. Это взаимодействие характеризует внутреннее трение.

Рис. 13.1. Взаимодействие молекул жидкости, расположенных в соседних слоях.

Рассмотрим взаимодействие слоев жидкости, движущихся параллельно друг другу и стенкам трубы, в которую заключена эта жидкость. На рис. 13.1 изображены соседние слои жидкости, расположенные на расстоянии Δz друг от друга. Площадь соприкасающихся слоев S существенно больше размеров молекул. Верхний и нижний слои выделенного объема движутся параллельно оси трубы и имеют разные скорости: ₁ и ₂ соответственно. Для сохранения постоянства этих скоростей к поверхностям выделенного объема необходимо приложить постоянные по величине силы F₁ и F₂, которые должны уравновесить силы внутреннего трения F_тр1 и F_тр2, действующие между соседними слоями выделенного объема жидкости.

В соответствии с третьим законом Ньютона силы внутреннего трения равны по величине и противоположны по направлению, поэтому верхний слой замедляет движение нижнего, а нижний - ускоряет движение верхнего (см. рис. 13.1). Величина силы внутреннего трения задается формулой Ньютона:

F_тр = η·|Δ/Δz|·S, или (13.2)

где η - коэффициент вязкости;

|Δ/Δz| - модуль градиента скорости, показывающий, как быстро меняется величина вектора скорости в направлении, перпендикулярном течению жидкости. Градиент скорости ∆v/∆x показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении x перпендикулярном направлению движения слоев.

S - площадь поверхности соприкасающихся слоев жидкости.

Коэффициент пропорциональности η, зависящий от природы жидкости и температуры, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью). Физический смысл коэффициента вязкости вытекает из выражения (13.2):

коэффициент вязкости численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности соприкасающихся слоев, при единичном градиенте скорости.

В системе СИ вязкость измеряется в Па·с, а в СГС - в пуазах (Пз): 1 Па·с = 10 Пз. Коэффициент вязкости жидкости зависит от природы жидкости (в частности, ее плотности) и температуры, уменьшаясь с ростом последней по экспоненциальному закону. Для более объективного учета характера взаимодействия молекул в непрерывных средах с разной плотностью, например, в жидкостях и газах, вводят понятие кинематического коэффициента вязкости.

Кинематический коэффициент вязкости равен отношению коэффициента η к плотности среды.

Для объяснения температурной зависимости коэффициента вязкости жидкостей необходимо учесть характер теплового движения составляющих их молекул. Оно, в основном, сводится к механическим колебаниям молекул около положений равновесия, которые в отличие от таковых в твердом теле изменяются с течением времени за счет переходов молекул в соседние положения с локальным минимумом потенциальной энергии. Для того, чтобы молекула жидкости перескочила из одного временного положения равновесия в другое, она должна нарушить связи со своими соседями, то есть преодолеть потенциальный барьер высотой W. Величина W называется энергией активации. Величина, обратная вероятности разрыва связи, определяется отношением энергии активации к тепловой энергии, равной произведению постоянной Больцмана k и абсолютной температуры T. С другой стороны, молекулы жидкости большую часть времени находятся около положения равновесия, и движущаяся масса жидкости увлекает соседние слои в основном за счет сил межмолекулярного взаимодействия, которые убывают с ростом температуры, и, следовательно, вязкость также убывает с ростом температуры.

Я. И. Френкель, исходя из характера теплового движения молекул в жидкостях, показал, что температурная зависимость вязкости жидкости имеет активационный характер и описывается выражением:

η = C·e ^W/(k·T), (13.3)

где W - энергия активации;

Т - абсолютная температура;

C - постоянная величина;

k - постоянная Больцмана, k = 1.38·10^-23 Дж/К;

е - основание натурального логарифма.

Применяя формулу Ньютона (13.2) для решения задач, связанных с течением жидкости, можно получить определенные количественные закономерности, которые используются для экспериментального определения коэффициента вязкости. Наиболее точными и распространенными методами определения вязкости являются:

	Метод Стокса, который основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы. На шарик, плотностью ρ и радиусом r , падающий в жидкости вязкостью η и плотностью ρ′ вертикально вниз со скоростью v, действуют три силы: сила тяжести, сила Архимеда и сила сопротивления.
	Метод Пуазейля, который основан на измерении средней скорости установившегося течения жидкости в капилляре

Рис. 13.2. Скорость движения слоев жидкости в горизонтальной трубе при ламинарном течении.

Течение реальных жидкостей и газов. Течение вязкой жидкости по трубам в зависимости от ряда условий может быть ламинарным (или слоистым) и турбулентным (или вихревым).

В случае ламинарного течения все молекулы жидкости движутся параллельно оси трубы и, находясь на одинаковом расстоянии от осевого центра трубы, имеют равные скорости (см. рис. 13.2). Течение называется ламинарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними.

Течение называется турбулентным (вихревым), если частицы жидкости переходят из слоя в слой (имеют составляющие скоростей, перпендикулярные течению). Для турбулентного движения характерно наличие нормальной (перпендикулярной направлению течения жидкости) составляющей скорости движения молекул и резкий спад скорости течения при приближении к границам. Траектория движения молекул представляет собой сложную кривую линию.

Характер течения можно установить, пользуясь безразмерной величиной - числом Рейнольдса: (13.4)

γ = η / ρ— кинематическая вязкость; ρ — плотность жидкости; v — средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерный линейный размер, например диаметр трубы. При Re ≤ 1000 наблюдается ламинарное течение, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области 1000 ≤ Re ≤ 2000, а при Re=2300 (для гладких труб) течение — турбулентное.

Лобовое давление и подъемная сила. Рассмотрим движение твердого тела относительно жидкости, находящейся в состоянии покоя в некоторой ИСО. Исходя из принципа относительности эта задача эквивалентна обтеканию неподвижного тела стационарным потоком жидкости.