физика лекцыи_1 / 1.22

1.22. ПЛОСКАЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ВОЛНА В УПРУГОЙ СРЕДЕ

Волновые процессы. Механизм образования и распространения механических волн в упругой среде. Продольные и поперечные волны. Синусоидальная плоская волна. Уравнение плоской бегущей волны. Фазовая скорость волны. Длина волны и волновое число.

Если колеблющееся тело (камертон, струна, мембрана и т.д.) находится в упругой среде, то оно приводит в колебательное движение соприкасающиеся с ним частицы среды, вследствие чего в прилегающих к этому телу элементах среды возникают периодические

деформации (например, сжатия и растяжения). При этих деформациях в среде появляются упругие силы, стремящиеся вернуть элементы среды к первоначальным состояниям равновесия; благодаря взаимодействию соседних элементов среды, упругие деформации будут передаваться от одних участков среды к другим, более удаленным от колеблющегося тела.

Таким образом, периодические деформации, вызванные в каком-нибудь месте упругой среды, будут распространяться в среде с некоторой скоростью, зависящей от ее физических свойств. При этом частицы среды совершают колебательное движение около положений равновесия. От одних участков среды к другим передается только состояние деформации.

Процесс распространения колебательного движения в сплошной среде называется волновым процессом или просто волной. Бегущей волной называется всякое возмущение (изменение) состояния вещества или поля или другой, например, информационной среды, распространяющееся в пространстве без переноса элементов среды. Волны переносят энергию и импульс без переноса вещества. В зависимости от характера возникающих при этом упругих деформаций различают продольные и поперечные волны. В продольных волнах частицы среды колеблются вдоль направления распространений колебаний. В поперечных волнах частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны.

Жидкие и газообразные среды не имеют упругости сдвига, поэтому в них возбуждаются только продольные волны, распространяющиеся в виде чередующихся сжатий и разряжений. Волны, возбуждаемые на поверхности воды, являются поперечными, они обязаны своим существованием земному притяжению.

В твёрдых телах могут быть вызваны и продольные и поперечные волны.

Предположим, что точечный источник волны начал возбуждать в среде колебания в момент времени t = 0; по истечению времени t это колебание распространится по различным направлениям на расстояние r =v_it, где v_i - скорость волны в данном направлении. Поверхность, до которой доходит колебание в некоторый момент времени, называется фронтом волны. Форма фронта волна определяется конфигурацией источника колебаний и свойствами среды. Волновой или фазововой поверхностью называется геометрическое место точек среды, колеблющихся в одной фазе. Волны разделяются по форме фронта на плоские, цилиндрические, сферические волны. В однородных средах скорость распространения волна везде одинакова. Среда называется изотропной, если эта скорость одинакова по всем направлениям. Фронт волна от точечного источника колебаний в однородной и изотропной среде имеет вид сферы; такие волны называются сферическими.

В неоднородной и не изотропной (анизотропной) среде, а также от неточечных источников колебаний фронт волны имеет сложную форму. Если фронт волны представляет собой плоскость и эта форма сохраняется по мере распространения колебаний в среде, то волну называют плоской.

График, показывающий распределение в среде колеблющейся величины в данный момент времени, называют формой волны.

Описание волны

Для описания волны надо ввести функцию, в общем случае - векторную, задающую смещение от положения равновесия каждой частицы упругой среды для любого момента времени. Обозначим эту функцию греческой буквой [кси]. Аргументами ее, в соответствии с вышесказанным, будут три пространственные переменные - x, y, z, задающие положение частицы (или радиус-вектор ), и время t, т.е.

.

Скорость движения частиц упругой среды

- это частная производная от смещения по времени, т.е.

,

с такой скоростью частицы среды колеблются около своих положений равновесия.

Длина волны

- это расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний.

(22.1)

Так как ,

то или (22.2)

Уравнение плоской волны.

Уравнением упругой волны называется зависимость от координат и времени скалярных или векторных величин, характеризующих колебания среды при прохождении по ней волны.

Так, для волн в твердом теле такой величиной является смещение от положения равновесия любой точки тела в произвольный момент времени. Для характеристики продольных волн в жидкости или газе используют понятие избыточного давления. Избыточное давление равно разности между давлением в данный момент времени, когда по среде проходит волна, и равновесным, когда возмущений в среде нет.

Пусть в начале координат находится твердая плоскость, которая колеблется по гармоническому закону и вынуждает частицы упругой среды, находящейся рядом с ней, колебаться по этому же закону. Направим ось x перпендикулярно этой плоскости. Тогда вдоль этой оси будет распространяться плоская гармоническая продольная волна. Наша задача - найти - уравнение волны, если задано .

Колебания до волновой поверхности, удаленной от начала координат на расстояние x, дойдут через время , значит уравнение волны

(22.3)

Фаза волны

- это аргумент у косинуса в уравнении волны, т.е.

(22.4)

Фаза плоской волны зависит от двух переменных - x и t.

Также можно сказать , что длина волны l – расстояние между двумя ближайшими точками среды, которые колеблются в одинаковой фазе. Если точки разделены расстоянием , их колебания происходят в противофазе.

Фазовая скорость

- это скорость перемещения в пространстве поверхности, вдоль которой фаза волны (22.4) остается постоянной, т.е.

.

Найдем производную от этого выражения по времени:

,

откуда искомая фазовая скорость волны:

.

Волновое число, симметричная форма уравнения волны

.

Введем

- волновое число. (22.5)

Тогда

. (22.6)

При такой записи координата х и время t входят в уравнение волны симметрично.

Связь волнового числа с длиной волны и фазовой скоростью

(22.7)

Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении. Волновой вектор

, (22.8)

здесь - волновой вектор,

- скалярное произведение волнового вектора и радиус-вектора.

Упругая волна называется синусоидальной или гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Так, рассмотренная выше бегущая волна является гармонической волной.

6