физика лекцыи_1 / 1

Это уравнение является основным уравнением динамики материальной точки с переменной массой. Его называют уравнением Мещерского. Будучи выведенным в одной инерциальной системе отсчета, это уравнение в силу принципа относительности верно и в любой другой инерциальной системе.

     

Последний член уравнения (3.14) носит название реактивной силы: . Эта сила возникает в результате действия на данное тело присоединяемой (или отделяемой) массы. Если масса присоединяется, то и вектор совпадает по направлению с вектором относительной скорости; если же она отделяется, то и вектор противоположен вектору .

     

Уравнение Мещерского по своей форме совпадает в основным уравнением динамики материальной точки постоянной массы: слева - произведение массы тела на ускорение, справа - действующие на него силы, включая реактивную силу. Однако в случае переменной массы нельзя внести массу под знак дифференцирования и представить левую часть уравнения как производную по времени от импульса, так как .

     

Отметим два важных частных случая.

1. Если , т. е. масса присоединяется или отделяется без скорости относительно тела, то , и уравнение (3.14) принимает вид

     

(3.15)

где - масса тела в данный момент времени. Это уравнение определяет, например, движение платформы, из которой свободно высыпается песок.

2. Если , т. е. присоединяемая масса неподвижна в выбранной системе отсчета или отделяемая масса становится неподвижной в этой системе, то уравнение (3.14) принимает другой вид

     

     или

     

(3.16)

     

Иначе говоря, только в этом частном случае действие силы определяет изменение импульса тела с переменной массой. Данный случай реализуется, например, при движении платформы, нагружаемой сыпучим веществом из неподвижного бункера.

     

Рассмотрим пример на применение уравнения Мещерского.

Ракета движется в инерциальной K-системе отсчета в отсутствие внешнего силового поля, причем так, что газовая струя вылетает с постоянной относительно ракеты скоростью. Определить зависимость скорости ракеты от ее массы , если в момент старта начальная масса ракеты равна .

В данном случае и из уравнения (3.14) следует

     

Проинтегрировав это выражение с учетом начальных условий, получим

     

где знак минус показывает, что вектор скорости ракеты противоположен по направлению вектору скорости вытекающих газов . Эта формула носит специальное название - формула Циолковского. Отсюда видно, что конечная скорость ракеты в случае не зависит от времени сгорания топлива: определяется только отношением начальной массы ракеты к оставшейся массе m.

     

Заметим, что если бы вся масса горючего была одновременно выброшена со скоростью относительно ракеты, то скорость последней оказалась бы иной. Действительно, если ракета вначале покоилась в выбранной инерциальной системе отсчета, а после одновременного выброса всего горючего приобрела скорость , то из закона сохранения импульса для системы ракета - гoрючее следует

     

,

где - скорость горючего относительно данной системы отсчета. Отсюда определяем скорость ракеты

     

 Скорость ракеты в этом случае оказывается меньше, чем в предыдущем при условии, что отношение масс одинаково. В этом нетрудно убедиться, сравнив характер зависимости от отношения масс в обоих случаях. С ростом в первом случае, когда вещество отделяется непрерывно, скорость ракеты, в соответствии с первой формулой, растет неограниченно, во втором же случае, когда вещество отделяется одновременно, скорость стремится к пределу, равному

12