физика лекцыи_1 / 1

1.3. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Внешние и внутренние силы. Понятие замкнутой системы. Формулировка закона сохранения импульса. Понятие центра инерции. Импульс системы. Закон движения центра инерции. Движение тел переменной массы. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского.

Любое тело (или совокупность тел) можно рассматривать как систему материальных точек, или частиц. Если в системе с течением времени происходят какие-то процессы, то говорят, что изменяется ее состояние. Состояние системы характеризуется одновременным заданием положений (координат) и скоростей всех ее частиц.

     

Зная законы действующих на частицы системы сил и состояние системы в некоторый начальный момент времени, можно, как показывает опыт, с помощью уравнений движения предсказать ее дальнейшее поведение, т. е. найти состояние системы в любой момент времени. Так, например, решается задача о движении планет Солнечной системы.

     

Однако детальное рассмотрение поведения системы с помощью уравнений движения часто бывает настолько затруднительно (например, из-за сложности самой системы), что довести решение до конца представляется практически невозможным. А в тех случаях, когда законы действующих сил вообще неизвестны, такой подход оказывается в принципе неосуществимым. Кроме того, существует ряд задач, в которых детальное рассмотрение движения отдельных частиц просто и не имеет смысла (например, газ).

     

При таком положении естественно возникает вопрос: нет ли каких-либо общих принципов, являющихся следствием законов Ньютона, которые позволили бы иначе подойти к решению задачи, и помогли бы в какой-то степени обойти подобные трудности.

     

Оказывается, такие принципы есть. Это так называемые законы сохранения.      Как уже было сказано, при движении системы ее состояние изменяется со временем. Существуют, однако, такие величины - функции состояния, которые обладают весьма важным и замечательным свойством сохраняться во времени. Среди этих сохраняющихся величин наиболее важную роль играют энергия, импульс и момент импульса. Эти три величины имеют важное общее свойство аддитивности: их значение для системы, состоящей из частей, взаимодействие которых пренебрежимо мало, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности (впрочем, для импульса и момента импульса свойство аддитивности выполняется и при наличии взаимодействия). Именно свойство аддитивности и придает этим трем величинам особенно важную роль.

     

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса имеют, как выяснилось впоследствии, весьма глубокое происхождение, связанное с фундаментальными свойствами времени и пространства - однородностью и изотропностью. А именно: закон сохранения энергии связан с однородностью времени, а законы сохранения импульса и момента импульса - соответственно с однородностью и изотропностью пространства. Сказанное следует понимать в том смысле, что перечисленные законы сохранения можно получить из второго закона Ньютона, если к нему присоединить соответствующие свойства симметрии времени и пространства.     

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса относятся к числу тех наиболее фундаментальных принципов физики, значение которых трудно переоценить. Роль этих законов особенно возросла после того, как выяснилось, что они далеко выходят за рамки механики и представляют собой универсальные законы природы. Во всяком случае, до сих пор не обнаружено ни одного явления, где бы эти законы нарушались. Они безошибочно "действуют" и в области элементарных частиц, и в области космических объектов, в физике атома и физике твердого тела и являются одними из тех немногих наиболее общих законов, которые лежат в основе современной физики.

     

Открыв возможность иного подхода к рассмотрению различных механических явлений, законы сохранения стали весьма мощным и эффективным инструментом исследования, которым повседневно пользуются физики. Эта важнейшая роль законов сохранения как инструмента исследования обусловлена рядом причин.

1. Законы сохранения не зависят ни от траекторий частиц, ни от характера действующих сил. Поэтому они позволяют получить ряд весьма общих и существенных заключений о свойствах различных механических процессов, не вникая в их детальное рассмотрение с помощью уравнений движения. Если, например, выясняется, что такой-то процесс противоречит законам сохранения, то сразу можно утверждать: этот процесс невозможен, и бессмысленно пытаться его осуществить.

 2. Тот факт, что законы сохранения не зависят от характера действующих сил, позволяет использовать их даже тогда, когда силы вообще неизвестны. В этих случаях законы сохранения являются единственным и незаменимым инструментом исследования. Так, например, обстоит дело в физике элементарных частиц.

 3. Даже в тех случаях, когда силы в точности известны, законы сохранения могут оказать существенную помощь при решении многих задач о движении частиц. Хотя все эти задачи могут быть решены с помощью уравнений движения (в этом отношении из законов сохранения мы не получим никакой дополнительной информации), привлечение законов сохранения очень часто позволяет получить решение наиболее простым и изящным путем, избавляя нас от громоздких и утомительных расчетов. Поэтому при решении новых задач обычно принято придерживаться следующего порядка: прежде всего один за другим применяют соответствующие законы сохранения и, только убедившись, что этого недостаточно, переходят затем к решению с помощью уравнений движения.

Перейдем к более подробному рассмотрению импульса. Основное уравнение ньютоновой динамики можно записать через импульс:

     

(3.1)

 т. е. производная импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе. В частности, если . то то есть при такой записи видна четкая логическая связь между 1 и 2 законами Ньютона : первый закон утверждает, что импульс является сохраняющейся в отсутствии взаимодействия мерой движения, а второй описывает ее изменение при наличии взаимодействия.

Уравнение (3.1) позволяет найти приращение импульса частицы за любой промежуток времени, если известна зависимость силы от времени. Действительно, из (3.1) следует, что элементарное приращение импульса частицы за промежуток времени есть Последняя величина называется импульсом силы. Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение импульса частицы за конечный промежуток времени :

     

(3.2)

 Если сила то вектор можно вынести из-под интеграла и тогда . Таким образом, приращение импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу действующей на нее силы за то же время.

     

Рассмотрим произвольную систему частиц. Введем понятие импульса системы как векторной суммы импульсов ее отдельных частиц:

     

(4.3)

где - импульсчастицы. Импульс системы - величина аддитивная, т. е. импульс системы равен сумме импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.

     

Найдем физическую величину, которая определяет изменение импульса системы. Для этого продифференцируем соотношение (3.3) по времени:

     

     Согласно (3.1),

     

где - силы, действующие на частицу со стороны других частиц системы, которые обычно называют внутренние силы; - сила, действующая на эту же частицу со стороны других тел, не входящих в рассматриваемую систему, т.е. равнодействующая внешних сил.

Внутренними силами называются силы взаимодействия между частями рассматриваемой системы. Механическая система называется замкнутой, или изолированной, системой, если она не взаимодействует с внешними телами (на нее не действуют внешние силы).

Подставив последнее выражение в предыдущее, получим

     

     В этом равенстве двойная сумма справа - это сумма всех внутренних сил. В соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия между частицами системы попарно одинаковы по модулю и противоположны по направлению. Поэтому результирующая сила в каждой паре взаимодействия равна нулю, а значит, равна нулю и векторная сумма всех внутренних сил. В результате последнее уравнение принимает следующий вид:

     

(3.4)

 - результирующая всех внешних сил.

     

Уравнение (3.4) означает: производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на частицы системы.

     

Как и в случае одной частицы, из уравнения (3.4) следует, что приращение импульса системы за конечный промежуток времени есть

     

(3.5)

т. е. приращение импульса системы равно импульсу результирующей всех внешних сил за соответствующий промежуток времени.

Из уравнения (3.4) можно сделать важный вывод - импульс системы может изменяться под действием только внешних сил. Внутренние силы не могут изменить импульс системы независимо от их конкретного вида.

Закон сохранения импульса: в инерциальной системе отсчета импульс замкнутой системы частиц остается постоянным, т. е. не меняется со временем:

     

(3.6)

При этом импульсы отдельных частиц или частей замкнутой системы могут меняться со временем, что и подчеркнуто в последнем выражении. Однако эти изменения всегда происходят так, что приращение импульса одной части системы равно убыли импульса оставшейся части системы. Другими словами, отдельные части замкнутой системы могут только обмениваться импульсами. Обнаружив в некоторой системе приращение импульса, можно утверждать, что это. приращение произошло за счет убыли импульса в окружающих телах.

     

В этом смысле уравнение (3.4) и (3.5) следует рассматривать как более общую формулировку закона изменения импульса, формулировку, в которой указана причина изменения импульса у незамкнутой системы - действие других тел, то есть внешних сил. Сказанное справедливо только по отношению к инерциальным системам отсчета.

     

Импульс может сохраняться и у незамкнутой системы при условии, что результирующая всех внешних сил равна нулю. Это непосредственно вытекает из уравнений (3.4) и (3.5). В практическом отношении сохранение импульса в этих случаях представляет особый интерес, ибо дает возможность получать достаточно простым путем ряд заключений о поведении системы, не вникая в детальное рассмотрение процесса.

Кроме того, у незамкнутой системы может сохраняться не сам импульс , а его проекция на некоторое направление . Это бывает тогда, когда проекция результирующей внешней силы на направление равна нулю, т. е. вектор перпендикулярен ему. Действительно, спроектировав уравнение (3.4), получим

     

(3.7)

откуда следует, что если , то . Например, при движении системы в однородном поле сил тяжести сохраняется проекция ее импульса на любое горизонтальное направление, при любых внутренних процессах в системе.

 В любой системе частиц имеется одна замечательная точка С- центр инерции, или центр масс, - которая обладает рядом интересных и важных свойств.

Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка C, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Центр масс является точкой приложения вектора импульса системы . Положение точки С относительно начала О данной системы отсчета характеризуется радиусом-вектором, определяемым следующей формулой:

     

(3.8)

     где - масса и радиус-вектор каждой частицы системы, M - масса всей      системы.

Центр масс системы совпадает с ее центром тяжести. Правда, это утверждение справедливо лишь в том случае, когда поле сил тяжести в пределах данной системы можно считать однородным.

     

Найдем скорость центра масс в данной системе отсчета. Продифференцировав (3.8) по времени, получим

     

(3.9)

     

Если скорость центра инерции равна нулю, то говорят, что система как целое покоится. Это вполне естественное обобщение понятия покоя отдельной частицы. Скорость же приобретает смысл скорости движения системы как целого.

     

Из формулы (3.9) с учетом (3.3) следует, что

     

(3.10)

 т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

     

Получим уравнение движения центра масс. Понятие центра масс позволяет придать уравнению (3.4) иную форму, которая часто оказывается более удобной. Для этого достаточно (3.10) подставить в (3.4), и учесть, что масса системы как таковой есть величина постоянная. Тогда получим

     

,

(3.11)

где - результирующая всех внешних сил, действующих на систему. Это и есть уравнение движения центра масс системы - одно из важнейших уравнений механики. В соответствии с этим уравнением, при движении любой системы частиц ее центр инерции движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы, действующие на систему.

Закон движения центра масс: центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

При этом ускорение центра инерции совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.

Далее, из уравнения (3.11) следует, что если то а значит, . В инерциальной системе отсчета такой случай реализуется для замкнутой системы. Кроме того, если , то, согласно (3.10); и импульс системы .

     

Таким образом, если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, то это означает, что ее импульс сохраняется в процессе движения. Разумеется, справедливо и обратное утверждение. Из закона сохранения импульса следует, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным

     

Уравнение (3.11). по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его естественным обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы.

В тех часто встречающихся случаях, когда нас интересует лишь относительное движение частиц внутри системы, а не движение этой системы как целого, наиболее целесообразно пользоваться системой отсчета, в которой центр масс покоится. Это позволяет значительно упростить и анализ явления и расчеты.

     

Систему отсчета, жестко связанную с центром масс данной системы частиц и перемещающуюся поступательно по отношению к инерциальным системам, называют системой центра масс или, кратко, С-системой (обозначение системы связано с первой буквой слова центр по латыни). Отличительной особенностью этой системы является то, что полный импульс системы частиц в ней равен нулю - это непосредственно следует из формулы (3.10). Другими словами, любая система частиц как целое покоится в своей -С-системе.

     

Для замкнутой системы частиц ее С-система является инерциальной, для незамкнутой - в общем случае неинерциальной.

Рассмотрим простейшую систему из двух частиц. Пусть их массы равны и , а их скорости в произвольной системе отсчета соответственно равны и . Найдем выражения, определяющие их импульсы в С-системе.

     

Импульс первой частицы в С-системе

     

где - скорость центра масс (С-системы) в произвольной системе отсчета. После подстановки в эту формулу выражения (3.9) для получим

     

где так называемая приведенная масса системы,

     

.

(3.12)

Аналогично, импульс второй частицы в C-системе

     

Таким образом, импульсы обеих частиц в C-системе одинаковы по модулю и противоположны по направлению, причем модуль импульса каждой частицы

     

(3.13)

 где - модуль скорости одной частицы относительно другой.

Движение тел переменной массы

Во многих задачах имеет место случай, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, нагружаемая на ходу, и др.). Определим уравнение движения такого тела.

     

Рассмотрим решение этого вопроса для материальной точки, называя ее для краткости частицей. Пусть в некоторый момент времени масса движущейся частицы А равна , а присоединяемая (или отделяемая) масса имеет скорость относительно этой частицы.

     

Введем вспомогательную инерциальную K-систему отсчета, скорость которой такова же, как и скорость тела А в данный момент . Это значит, что в момент частица А покоится в этой системе. Предположим, что за промежуток времени от до частица А приобретает в K-системе импульс . Этот импульс частица А получит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) массы , которая приносит (уносит) импульс , во-вторых, вследствие действия силы со стороны окружающих тел или силового поля.

Таким образом, можно записать, что    

где знак плюс соответствует присоединению массы, а знак минус - отделению. Оба эти случая можно объединить, представив в виде приращения массы частицы А (действительно, в случае присоединения массы а в случае отделения Тогда предыдущее уравнение примет вид

     

.

Поделив это выражение на , получим

     

(3.14)

где - скорость присоединяемого (или отделяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.