Сложение сонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами.

Частоты складываемых колебаний не равны , но разность частот много меньше и ω₁, и ω₂. Условие близости складываемых частот записывается соотношениями .

Примером сложения сонаправленных колебаний с близкими частотами является движение горизонтального пружинного маятника, жесткость пружин которого немного различна k₁ и k₂.

Пусть амплитуды складываемых колебаний одинаковы, а начальные фазы равны нулю . Тогда уравнения складываемых колебаний имеют вид:

, .

Результирующее колебание описывается уравнением:

. (20.4)

Получившееся уравнение колебаний зависит от произведения двух гармонических функций: одна – с частотой , другая – с частотой , где ω близка к частотам складываемых колебаний (ω₁ или ω₂). Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание с изменяющейся по гармоническому закону амплитудой. Такой колебательный процесс называется биениями.

Биениями называются периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.

Строго говоря, результирующее колебание в общем случае не является гармоническим колебанием.

Абсолютное значение косинуса взято потому, что амплитуда – величина положительная или;

(20.5)

Характер зависимости х_рез.при биениях показан на Рисунке 20.3.

Рисунок 20.3 – Зависимость смещения от времени при биениях.

Амплитуда биений медленно меняется с частотой . Абсолютное значение косинуса повторяется, если его аргумент изменяется на π, значит и значение результирующей амплитуды повторится через промежуток времени τ_б, называемый периодом биений. Величину периода биений можно определить из следующего соотношения:

.

Величина - период биений.

Величина есть период результирующего колебания (Рисунок 20.3).

Негармонические периодические сигналы

При передаче информации по каналам связи в процессе преобразования сигналов в различных устройствах, как правило, используют негармонические колебания, поскольку чисто гармонические колебания не могут являться носителями информации. Для передачи сообщений осуществляют модуляцию гармонического колебания по амплитуде – амплитудная модуляция (AM), частоте – частотная модуляция (ЧМ) или фазе – фазовая модуляция (ФМ), либо используют импульсные сигналы, модулируемые по амплитуде – амплитудно-импульсная модуляция (АИМ), ширине – широтно-импульсная модуляция (ШИМ), временному положению – время-импульсная модуляция (ВИМ). Существуют и другие, более сложные сигналы, формируемые по специальным законам. Отличительной чертой указанных сигналов является сложный негармонический характер. Все это приводит к необходимости разработки специальных методов анализа и синтеза периодических несинусоидальных и непериодических колебаний. В основе этих методов лежат спектральные представления несинусоидальных воздействий, базирующиеся на разложении в ряд или интеграл Фурье. Французский математик Фурье (1768-1830) и его последователи доказали, что любое сложное колебание можно представить в виде суммы простейших колебаний, называемых собственными частотами, или, другими словами, что любую периодическую функцию, в случае ее соответствия некоторым математическим условиям, можно разложить в ряд (сумму) косинусов и синусов с некоторыми коэффициентами, называемый тригонометрическим рядом Фурье.

Из математического анализа известно, что периодическая негармоническая функция f(t), удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье: (20.6) где a_k, b_k — коэффициенты разложения, определяемые уравнениями (20.7)

Величина представляет среднее за период значение функции f(t) и называется постоянной составляющей.

В теоретических исследованиях обычно вместо формулы (20.6) используют другую, основанную на замене независимой переменной : (20.8) где (20.9)

Уравнение (20.8) есть тригонометрическая форма ряда Фурье.

Таким образом, любое сложное периодическое колебание s = f (t) можно представить в виде суммы простых гармонических колебаний с циклическими частотами, кратными основной циклической частоте ω₀ Такое представление периодической функции f(t) называется разложением ее в ряд Фурье или гармоническим анализом сложного периодического колебания. Члены ряда Фурье, соответствующие гармоническим колебаниям с циклическими частотами ω₀ , 2ω₀, 3ω₀ и т. д., называются первой (или основной), второй, третьей и т. д., гармониками сложного периодического колебания.

При анализе сигналов часто удобней пользоваться комплексной формой ряда Фурье, которая может быть получена из (20.8) с помощью формул Эйлера:

(20.10)

Подставив (5.5) в уравнение (5.3), после несложных преобразований получим комплексную форму ряда Фурье:

(20.11) где A_k — комплексная амплитуда k-й гармоники:

(20.12) где – амплитуда; – начальная фаза k-й гармоники.

Подставив значения a_k и b_k из (20.9) в (20.12), получим:

(20.13)

Совокупность амплитуд 0,5А_k = 0,5А_–k в разложении (20.11), отложенных против соответствующих положительных и отрицательных частот, образует симметричный относительно оси координат (вследствие четности коэффициентов а_k) линейчатый амплитудный спектр.

Совокупность ординат _k = –_–k из (20.12), входящих в разложение (20.11) и отложенных против соответствующих положительных и отрицательных частот, образует симметричный относительно начала оси координат (вследствие нечетности коэффициентов b_k) линейчатый фазовый спектр.

Важным примером применения разложения в ряд Фурье является анализ сложных звуковых сигналов.

Обертоном называется любая собственная частота выше первой, самой низкой ( основной тон ), а те обертоны, частоты которых относятся к частоте основного тона как целые числа, называются гармониками , причем основной тон считается первой гармоникой .

Если звук содержит в своем спектре только гармоники, то их сумма является периодическим процессом и звук дает четкое ощущение высоты. При этом субъективно ощущаемая высота звука соответствует наименьшему общему кратному частот гармоник.

Совокупность обертонов, составляющих сложный звук, называют спектром этого звука.

Разложение сложного звука на простейшие составляющие называют спектральным анализом , осуществляемым с помощью математического преобразования Фурье .

Методы спектрального анализа могут быть применены не только к периоди ческим сигналам, но также и к сигналам, представленным в цифровой форме . В зависимости от типа сигнала используются различные виды спектрального анализа: ряд Фурье (для периодических сигналов), интеграл Фурье (для непериодических сигналов), дискретное прео бразование Фурье (ДПФ) и быстрое преобразование Фурье (БПФ) для цифровых сигналов.

Как видно из формулы (20.6), любой сложный периодический звуковой сигнал может быть представлен в виде суммы простых гармонических сигналов с соответствующими ам плитудами и фазами. Совокупность всех амплитуд на шкале частот называется амплитудным спектром, совокуп­ность всех фаз - фазовым спектром. При этом, несмотря на то, что ряд Фурье может быть бесконечным, предлагаемая им форма записи оказывается очень удобной при проведении анализа и обработки.

Так можно поступить с периодическими функциями. Однако и на практике, и в теории далеко не все функции периодические. Чтобы получить возможность раскладывать непериодическую функцию f(x) в ряд Фурье, можно воспользоваться "хитростью". Как правило, при рассмотрении некоторой сложной непериодической функции нас не интересуют ее значения на всей области определения; нам достаточно рассматривать функцию лишь на определенном конечном интервале [x1, x2] для некоторых x1 и x2. В этом случае функцию можно рассматривать как периодическую, с периодом Т = x2- x1. Для ее разложения в ряд Фурье на интервале [x1, x2] мы можем искусственно представить f(x) в виде некоторой периодической функции f'(x), полученной путем "зацикливания" значений функции f(x) из рассматриваемого интервала. После этой процедуры непериодическая функция f(x) превращается в периодическую f'(x), которая может быть разложена в ряд Фурье.

График, на котором изображен развернутый во времени спектр звука, называют спектральным представлением звука или сонограммой . Другими словами, сонограмма представляет собой диаграмму распределения спектральной энергии акустического источника в координатах частоты и времени. При этом по вертикали откладывают частоты обертонов, по горизонтали - время, а цвет (чаще всего оттенок серого), указывает на интенсивность обертонов.

Очевидно, что возможна обратная операция - конструирование сложного звука по его гармоническим составляющим - называемая синтезом Фурье или аддитивным синтезом, т.е. синтезом, основанным на принципе сложения . Другими словами, возможен синтез сложного звука из простейших синусоидальных тонов, частоты, амплитуды и фазы которых изменяются во времени по строго определенным законам. Используют, также, и обратный метод: из сложного спектра с помощью специальных фильтров удаляют часть спектральных компонент, формируя желаемый тембр. Этот метод называют « субтрактивный синтез », т.е. синтез, основанный на принципе вычитания.