1.20. Сложение гармонических колебаний

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения. Разложение сложного колебания в ряд Фурье. Спектральный анализ. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

Графическое изображение гармонических колебаний. Векторная диаграмма.

Решение многих вопросов в теории колебаний значительно упрощается, если использовать графический метод изображения гармонических колебаний в виде векторов на плоскости. Такое изображение называется векторной диаграммой колебаний (Рисунок 20.1).

Рисунок 20.1 – Векторная диаграмма гармонического колебаний.

Последовательность построения векторной диаграммы колебания, заданного уравнением , такова:

1. Выберем на плоскости ось Х, на ней возьмем точку О – начало координат.

2. Под углом α, равном начальной фазе колебаний, к оси Х, из точки О откладываем вектор, равный по длине амплитуде А колебаний.

3. Вектор А равномерно вращаем вокруг точки О против часовой стрелки с угловой скоростью, равной циклической частоте колебаний.

Тогда в любой момент времени угол вектора А с осью Х равен . Соответственно проекция конца вектора А на ось Х будет совершать колебания по закону , а сама проекция вектора А в любой момент времени будет равна смещению х колеблющейся точки от положения равновесия. Если начальная фаза колебаний , то в начальный момент времени вектор А откладываем из точки О вдоль направления оси Х.

Сложение однонаправленных колебаний одинаковой частоты

Рассмотрим случай сложения двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты. Для сложения колебаний удобно применять метод векторных диаграмм. Суть этого метода в том, что гармоническое колебание представляется при помощи вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью OX угол, равный фазе колебания. Амплитуда и начальная фаза результирующего колебания определяются при помощи векторного сложения. Допустим, что требуется сложить два гармонических колебания:

и . (20.1)

Сложим соответствующие им векторы и для момента времени t. Проекция результирующего вектора на ось Оx равна сумме проекций складываемых векторов . Вектор представляет собой векторное изображение результирующего колебания (см. рис.20.2).

Э

Рис. 20.2. Сложение комплексных векторов на диаграмме

тот вектор в плоскости диаграммы вращается с той же частотой , с которой колеблются складываемые осциллирующие функции x₁(t) и x₂(t). Сумма двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты есть гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания Результирующая амплитуда и начальная фаза находятся геометрическим построением для момента времени t=0:

(20.2)

. (20.3)

Выделим три характерных случая.

• · Если разность начальных фаз обоих колебаний равна 0 или 2pn, где n=1,2,…. то колебания находятся в фазе и амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний, .

• · Если разность фаз , т.е. оба колебания находятся в противофазе, то (при наблюдается полное гашение колебаний).

• · Если частоты складываемых колебаний не одинаковы, то результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. В этом случае результирующее колебание не будет гармоническим и описывается другими более сложными зависимостями.